Um investidor deseja calcular o retorno esperado e o risco de uma carteira formada com
de ações da empresa J e 70% da empresa Z. Historicamente, as ações dessas empresa apresentam, respectivamente, retorno de
e
. Sabendo-se que o coeficiente de correlação entre as ações é - 0,4 e, ainda, o desvio-padrão da ação J é
e o da ação Z é 36%, calcule o retorno e o risco dessa carteira. (valor 2,0 pontos)
Resposta: Retorno:
%
Risco
%
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o retorno esperado e o risco (desvio-padrão) da carteira formada por
em ações da empresa J e
em ações da empresa Z. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
- Peso da ação J na carteira:
. - Peso da ação Z na carteira:
. - Retorno histórico da ação J:
(ou seja, ). - Retorno histórico da ação Z:
(ou seja, ). - Desvio-padrão da ação J:
(ou seja, ). - Desvio-padrão da ação Z:
(ou seja, ). - Coeficiente de correlação entre J e Z:
.
As perguntas são:
- Qual o retorno esperado da carteira?
- Qual o risco (desvio-padrão) da carteira?
Passo 2
Fórmula do retorno esperado da carteira (explicação didática): o retorno da carteira é a média ponderada dos retornos dos ativos com os pesos da carteira. Em outras palavras, cada ativo contribui com seu retorno multiplicado pela fração da carteira investida nele. A fórmula é
onde
é o retorno esperado da carteira,
e
são os pesos, e
e
são os retornos individuais.
Agora aplico os valores:
Calcule passo a passo:
Interpretação:
significa retorno de
.
Passo 3
Fórmula do risco (variância e desvio-padrão) para uma carteira com dois ativos (explicação didática): a variância da carteira considera a variância de cada ativo e a covariância entre os ativos. A fórmula geral é
onde
é a covariância entre os retornos de J e Z. O desvio-padrão da carteira (o risco pedido) é a raiz quadrada da variância:
Relação entre correlação e covariância (explicação didática): a covariância pode ser obtida a partir da correlação
por
Passo 4
Calcule a covariância usando a correlação dada:
Agora calcule cada termo da variância:
Somando para obter a variância da carteira:
Passo 5
Agora o desvio-padrão (risco) é a raiz quadrada da variância. Calculo:
Convertendo em porcentagem:
Pequena interpretação-final: o retorno esperado da carteira é
e o risco (desvio-padrão) é cerca de
. Note que a correlação negativa entre J e Z reduz a variância da carteira por causa do termo de covariância negativo — ou seja, os ativos se movem parcialmente em direções opostas e isso dá diversificação.
Resposta
Retorno:
Risco:
Risco: