Um investidor deseja calcular o retorno esperado e o risco de uma carteira formada com 30 \% de ações da empresa J e 70% da empresa Z. Historicamente, as ações dessas empresa apresentam, respectivamente, retorno de 10 \% e 20 \%. Sabendo-se que o coeficiente de correlação entre as ações é - 0,4 e, ainda, o desvio-padrão da ação J é 12 \% e o da ação Z é 36%, calcule o retorno e o risco dessa carteira. (valor 2,0 pontos)
Resposta: Retorno: \_\_\_\_ %
Risco \_\_\_\_ %

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o retorno esperado e o risco (desvio-padrão) da carteira formada por 30\% em ações da empresa J e 70\% em ações da empresa Z. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Peso da ação J na carteira: w_J = 0,3.
  • Peso da ação Z na carteira: w_Z = 0,7.
  • Retorno histórico da ação J: r_J = 0,10 (ou seja, 10\%).
  • Retorno histórico da ação Z: r_Z = 0,20 (ou seja, 20\%).
  • Desvio-padrão da ação J: \sigma_J = 0,12 (ou seja, 12\%).
  • Desvio-padrão da ação Z: \sigma_Z = 0,36 (ou seja, 36\%).
  • Coeficiente de correlação entre J e Z: \rho_{JZ} = -0,4.
As perguntas são:
  1. Qual o retorno esperado da carteira?
  2. Qual o risco (desvio-padrão) da carteira?

Passo 2

Fórmula do retorno esperado da carteira (explicação didática): o retorno da carteira é a média ponderada dos retornos dos ativos com os pesos da carteira. Em outras palavras, cada ativo contribui com seu retorno multiplicado pela fração da carteira investida nele. A fórmula é
R_p = w_J \, r_J + w_Z \, r_Z,
onde R_p é o retorno esperado da carteira, w_J e w_Z são os pesos, e r_J e r_Z são os retornos individuais.
Agora aplico os valores:
R_p = 0,3 \cdot 0,10 + 0,7 \cdot 0,20.
Calcule passo a passo:
0,3 \cdot 0,10 = 0,03,
0,7 \cdot 0,20 = 0,14,
R_p = 0,03 + 0,14 = 0,17.
Interpretação: R_p = 0,17 significa retorno de 17\%.

Passo 3

Fórmula do risco (variância e desvio-padrão) para uma carteira com dois ativos (explicação didática): a variância da carteira considera a variância de cada ativo e a covariância entre os ativos. A fórmula geral é
\operatorname{Var}(R_p) = w_J^{2}\,\sigma_J^{2} + w_Z^{2}\,\sigma_Z^{2} + 2\,w_J\,w_Z\,\operatorname{Cov}(J,Z),
onde \operatorname{Cov}(J,Z) é a covariância entre os retornos de J e Z. O desvio-padrão da carteira (o risco pedido) é a raiz quadrada da variância:
\sigma_p = \sqrt{\operatorname{Var}(R_p)}.
Relação entre correlação e covariância (explicação didática): a covariância pode ser obtida a partir da correlação \rho_{JZ} por
\operatorname{Cov}(J,Z) = \rho_{JZ}\,\sigma_J\,\sigma_Z.

Passo 4

Calcule a covariância usando a correlação dada:
\operatorname{Cov}(J,Z) = -0,4 \cdot 0,12 \cdot 0,36 = -0,01728.
Agora calcule cada termo da variância:
w_J^{2}\,\sigma_J^{2} = 0,3^{2} \cdot 0,12^{2} = 0,09 \cdot 0,0144 = 0,001296,
w_Z^{2}\,\sigma_Z^{2} = 0,7^{2} \cdot 0,36^{2} = 0,49 \cdot 0,1296 = 0,063504,
2\,w_J\,w_Z\,\operatorname{Cov}(J,Z) = 2 \cdot 0,3 \cdot 0,7 \cdot (-0,01728) = 0,42 \cdot (-0,01728) = -0,0072576.
Somando para obter a variância da carteira:
\operatorname{Var}(R_p) = 0,001296 + 0,063504 - 0,0072576 = 0,0575424.

Passo 5

Agora o desvio-padrão (risco) é a raiz quadrada da variância. Calculo:
\sigma_p = \sqrt{0,0575424} \approx 0,239794.
Convertendo em porcentagem:
\sigma_p \approx 0,239794 = 23,9794\% \approx 23,98\%.
Pequena interpretação-final: o retorno esperado da carteira é 17\% e o risco (desvio-padrão) é cerca de 23,98\%. Note que a correlação negativa entre J e Z reduz a variância da carteira por causa do termo de covariância negativo — ou seja, os ativos se movem parcialmente em direções opostas e isso dá diversificação.

Resposta

Retorno: 17\%
Risco: 23,98\%

Exercícios relacionados