(3,5 pontos) Uma indústria tabagista modifica a fórmula de uma determinada marca de cigarro que ela produz e anuncia que o índice médio de nicotina por cigarro na nova fórmula é menor do que 15,0 \mathrm{mg}. A pedido da ANVISA, um laboratório realiza a análise de 64 cigarros, resultando a média em 14,8 \mathrm{mg}. Sabe-se que o índice de nicotina se distribui normalmente, com variância igual a 9,0 m g^{2}. Os itens a seguir se relacionam com um teste de hipótese sobre a questão.
a) Seja \mu o índice médio (populacional) de nicotina da nova fórmula. Considere a seguinte especificação para as hipóteses do teste:
H_{0}: \mu \geq 15
H_{1}: \mu<15
Por que é razoável que as hipóteses nula ( H_{0} ) e alternativa ( H_{1} ) sejam definidas desse modo e não da maneira inversa? (1,0)
b) Explique por que a Região Crítica do teste deve ser como a da figura abaixo. Inclua na argumentação comentários sobre as quantidades \mu, \alpha, x_{c} e \bar{X} .(1,0)
c) Considerando um nível de significância de 4,0 \%, encontre o valor de x_{c} \cdot(1,0)
d) A que conclusão leva o teste assim construído? Justifique. (0,5)

Passo 1

O enunciado dá um experimento e pede análise de um teste de hipótese. Perguntas: (a) por que as hipóteses nula e alternativa são definidas como H_{0}:\mu\ge 15 e H_{1}:\mu<15; (b) por que a Região Crítica (RC) é a área à esquerda indicada na figura, comentando sobre \mu,\alpha,x_{c} e \bar{X}; (c) para \alpha=4{,}0\% encontrar x_{c}; (d) decidir o teste com os dados. Informações fornecidas e relevantes: a média amostral é \bar{X}=14{,}8 (obtida em n=64 cigarros); a variável é normalmente distribuída com variância populacional \sigma^{2}=9{,}0\\ \mathrm{mg}^{2}, então o desvio padrão populacional é \sigma=3{,}0\\ \mathrm{mg}. O valor limiar anunciado pela indústria é 15{,}0\\ \mathrm{mg} (este é o valor contra o qual testamos \mu). A amostra foi feita a pedido de órgão fiscalizador, então queremos verificar se a média real é MENOR que 15{,}0.

Passo 2

(a) Explicando didaticamente por que escolher H_{0}:\mu\ge 15 e H_{1}:\mu<15. Ideia geral: a hipótese nula H_{0} é a hipótese de “não efeito” ou de status quo, é a hipótese que assumimos verdadeira salvo evidência em contrário; a hipótese alternativa H_{1} é a afirmação que se pretende provar com a amostra. Aqui a empresa anunciou que a média é menor que 15{,}0. Quem acusa que isso não é verdade (por exemplo, a ANVISA) assume por prudência que a média pode ser pelo menos 15; portanto H_{0} deve conter os valores que representam essa situação (ou seja, \mu\ge 15). Para que existam provas suficientes contra essa prudência, colocamos como alternativa a afirmação contrária que queremos detectar: \mu<15. Outra maneira de ver: o erro tipo I ( \alpha) é o risco que aceitamos de rejeitar H_{0} quando ela é verdadeira; queremos controlar esse risco enquanto procuramos evidência de que a média é menor. Se tivéssemos as hipóteses invertidas, estaríamos exigindo que quem alega “redução” provasse o contrário, e isso inverte o papel do erro e do ônus da prova de forma inadequada para este contexto. Em resumo: H_{0} mantém o status quo ( \mu não menor que 15) e H_{1} é a afirmação que a indústria fez (média menor), logo a formulação dada é a apropriada.

Passo 3

(b) Por que a RC é a área à esquerda (como na figura) e comentários sobre \mu,\alpha,x_{c},\bar{X}.
  • Natureza do teste: como H_{1}:\mu<15, estamos diante de um teste unilateral à esquerda. Isso significa que as evidências que favorecem H_{1} são médias amostrais pequenas (valores de \bar{X} suficientemente abaixo de 15). Logo a Região Crítica (onde rejeitamos H_0) é um intervalo do tipo (-\infty,x_{c}] — à esquerda da distribuição de \bar{X} sob H_0.
  • Papel de \mu: \mu é a média populacional desconhecida. Sob H_{0} consideramos o caso fronteira \mu=\mu_{0}=15 para calibrar a RC (essa é a escolha comum porque H_0 é \mu\ge 15; usar o caso limite \mu=15 garante que a probabilidade máxima de cometer erro tipo I seja \alpha).
  • Papel de \alpha: \alpha é o nível de significância, a probabilidade de rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira (erro tipo I). Geometricamente, \alpha é a área sombreada à esquerda de x_{c} sob a densidade da estatística amostral calculada supondo \mu=\mu_0. Por isso escolhemos x_{c} tal que P(\bar{X}\le x_{c}\mid \mu=\mu_{0})=\alpha.
  • Papel de x_{c}: x_{c} é o ponto crítico na escala de \bar{X}. Valores observados de \bar{X} menores ou iguais a x_{c} fazem parte da RC e conduzem à rejeição de H_0. O valor de x_{c} depende de \mu_0, \sigma (ou do erro padrão), n e do nível \alpha.
  • Papel de \bar{X}: \bar{X} é a média observada da amostra; comparamos \bar{X} com x_{c}. Se \bar{X}\le x_{c} rejeitamos H_0; caso contrário não rejeitamos. No desenho da figura, o centro da curva é \mu_0 (a média da distribuição de \bar{X} quando H_0 é verdadeira), a área à esquerda de x_{c} é \alpha e a área restante central é 1-\alpha.

Passo 4

Preparar os cálculos para (c): determinarmos x_{c} quando \alpha=4{,}0\%.
  • Primeiro, estatística e distribuição: como a população é normal com desvio padrão \sigma=3 conhecido e a amostra tem tamanho n=64, a média amostral \bar{X} tem distribuição normal com média \mu e erro padrão (desvio padrão de \bar{X})
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}=0{,}375\\ \mathrm{mg}.
  • Queremos x_{c} tal que, sob \mu=\mu_{0}=15,
P(\bar{X}\le x_{c}\mid \mu=15)=\alpha=0{,}04.
Padronizando com a distribuição normal padrão Z\sim N(0,1),
P\!\left(Z\le \frac{x_{c}-\mu_{0}}{\text{SE}}\right)=0{,}04.
Logo o quantil padrão (valor crítico z) é
z_{\alpha}=z_{0{,}04}=\Phi^{-1}(0{,}04),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Usando tabela ou calculadora, \Phi^{-1}(0{,}04)\approx -1{,}7507. Então
\frac{x_{c}-15}{0{,}375}= -1{,}7507.
Despejando x_{c},
x_{c}=15 +(-1{,}7507)\times 0{,}375.
Calculemos:
(-1{,}7507)\times 0{,}375\approx -0{,}6565,
então
x_{c}\approx 15-0{,}6565=14{,}3435\\ \mathrm{mg}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais,
x_{c}\approx 14{,}34\\ \mathrm{mg}.

Passo 5

(d) Decisão do teste com os dados observados e justificativa.
  • Comparação direta com RC: a RC é \{\bar{X}\le x_{c}\} com x_{c}\approx 14{,}3435. A média observada é \bar{X}=14{,}8. Como
14{,}8>14{,}3435,
a média observada não está na Região Crítica, portanto NÃO rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0{,}04.
  • Alternativa (usando estatística Z observada e p-valor) — para reforçar a conclusão: a estatística de teste padronizada é
Z_{\text{obs}}=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\text{SE}}=\frac{14{,}8-15}{0{,}375}=\frac{-0{,}2}{0{,}375}\approx -0{,}5333.
O p-valor (probabilidade de obter valor tão extremo ou mais sob H_0) é
\text{p-valor}=P(Z\le -0{,}5333)\approx 0{,}296.
Como \text{p-valor}\approx 0{,}296 > \alpha=0{,}04, também concluímos por não rejeitar H_0.
  • Interpretação prática e encorajamento: isso significa que, com a amostra de 64 cigarros e assumindo \sigma^{2}=9, não há evidência estatística suficiente (ao nível de 4%) para afirmar que a média de nicotina da nova fórmula é menor que 15{,}0\\ \mathrm{mg}. Pode ser frustrante, mas lembra: “não rejeitar H_0” não prova que \mu\ge 15, apenas que a amostra não trouxe evidência forte o suficiente contra isso com o nível de risco escolhido.

Resposta

(a) Porque H_{0} deve representar o status quo (não redução) e H_{1} a afirmação que se quer provar (redução); isso coloca o ônus da prova em quem alega a redução e permite controlar o erro tipo I.
(b) Porque H_{1}:\mu<15 é um teste unilateral à esquerda, então a RC é a área à esquerda de x_{c}; sob H_{0} usamos \mu_{0}=15 para calibrar x_{c} de modo que P(\bar{X}\le x_{c}\mid\mu=15)=\alpha. Aqui \alpha é a área sombreada (risco de erro tipo I), x_{c} é o ponto crítico gerado por esse \alpha, e \bar{X} é a média observada que será comparada com x_{c}.
(c) x_{c}\approx 14{,}34\\ \mathrm{mg} (valor exato calculado x_{c}\approx 14{,}3435\\ \mathrm{mg}).
(d) Não rejeitamos H_{0} (porque \bar{X}=14{,}8> x_{c}); logo, com \alpha=4{,}0\%, não há evidência suficiente para concluir que \mu<15.

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