(3,5 pontos) Uma indústria tabagista modifica a fórmula de uma determinada marca de cigarro que ela produz e anuncia que o índice médio de nicotina por cigarro na nova fórmula é menor do que
. A pedido da ANVISA, um laboratório realiza a análise de 64 cigarros, resultando a média em
. Sabe-se que o índice de nicotina se distribui normalmente, com variância igual a
. Os itens a seguir se relacionam com um teste de hipótese sobre a questão.
a) Seja
o índice médio (populacional) de nicotina da nova fórmula. Considere a seguinte especificação para as hipóteses do teste:
Por que é razoável que as hipóteses nula (
) e alternativa (
) sejam definidas desse modo e não da maneira inversa?
b) Explique por que a Região Crítica do teste deve ser como a da figura abaixo. Inclua na argumentação comentários sobre as quantidades
e
c) Considerando um nível de significância de
, encontre o valor de
d) A que conclusão leva o teste assim construído? Justifique.
a) Seja
Por que é razoável que as hipóteses nula (
b) Explique por que a Região Crítica do teste deve ser como a da figura abaixo. Inclua na argumentação comentários sobre as quantidades
c) Considerando um nível de significância de
d) A que conclusão leva o teste assim construído? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá um experimento e pede análise de um teste de hipótese. Perguntas: (a) por que as hipóteses nula e alternativa são definidas como
e
; (b) por que a Região Crítica (RC) é a área à esquerda indicada na figura, comentando sobre
e
; (c) para
encontrar
; (d) decidir o teste com os dados. Informações fornecidas e relevantes: a média amostral é
(obtida em
cigarros); a variável é normalmente distribuída com variância populacional
, então o desvio padrão populacional é
. O valor limiar anunciado pela indústria é
(este é o valor contra o qual testamos
). A amostra foi feita a pedido de órgão fiscalizador, então queremos verificar se a média real é MENOR que
.
Passo 2
(a) Explicando didaticamente por que escolher
e
. Ideia geral: a hipótese nula
é a hipótese de “não efeito” ou de status quo, é a hipótese que assumimos verdadeira salvo evidência em contrário; a hipótese alternativa
é a afirmação que se pretende provar com a amostra. Aqui a empresa anunciou que a média é menor que
. Quem acusa que isso não é verdade (por exemplo, a ANVISA) assume por prudência que a média pode ser pelo menos
; portanto
deve conter os valores que representam essa situação (ou seja,
). Para que existam provas suficientes contra essa prudência, colocamos como alternativa a afirmação contrária que queremos detectar:
. Outra maneira de ver: o erro tipo I (
) é o risco que aceitamos de rejeitar
quando ela é verdadeira; queremos controlar esse risco enquanto procuramos evidência de que a média é menor. Se tivéssemos as hipóteses invertidas, estaríamos exigindo que quem alega “redução” provasse o contrário, e isso inverte o papel do erro e do ônus da prova de forma inadequada para este contexto. Em resumo:
mantém o status quo (
não menor que
) e
é a afirmação que a indústria fez (média menor), logo a formulação dada é a apropriada.
Passo 3
(b) Por que a RC é a área à esquerda (como na figura) e comentários sobre
.
-
Natureza do teste: como
, estamos diante de um teste unilateral à esquerda. Isso significa que as evidências que favorecem são médias amostrais pequenas (valores de suficientemente abaixo de ). Logo a Região Crítica (onde rejeitamos ) é um intervalo do tipo — à esquerda da distribuição de sob . -
Papel de
: é a média populacional desconhecida. Sob consideramos o caso fronteira para calibrar a RC (essa é a escolha comum porque é ; usar o caso limite garante que a probabilidade máxima de cometer erro tipo I seja ). -
Papel de
: é o nível de significância, a probabilidade de rejeitar quando é verdadeira (erro tipo I). Geometricamente, é a área sombreada à esquerda de sob a densidade da estatística amostral calculada supondo . Por isso escolhemos tal que . -
Papel de
: é o ponto crítico na escala de . Valores observados de menores ou iguais a fazem parte da RC e conduzem à rejeição de . O valor de depende de , (ou do erro padrão), e do nível . -
Papel de
: é a média observada da amostra; comparamos com . Se rejeitamos ; caso contrário não rejeitamos. No desenho da figura, o centro da curva é (a média da distribuição de quando é verdadeira), a área à esquerda de é e a área restante central é .
Passo 4
Preparar os cálculos para (c): determinarmos
quando
.
- Primeiro, estatística e distribuição: como a população é normal com desvio padrão
conhecido e a amostra tem tamanho , a média amostral tem distribuição normal com média e erro padrão (desvio padrão de )
- Queremos
tal que, sob ,
Padronizando com a distribuição normal padrão
,
Logo o quantil padrão (valor crítico z) é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
- Usando tabela ou calculadora,
. Então
Despejando
,
Calculemos:
então
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais,
Passo 5
(d) Decisão do teste com os dados observados e justificativa.
- Comparação direta com RC: a RC é
com . A média observada é . Como
a média observada não está na Região Crítica, portanto NÃO rejeitamos
ao nível
.
- Alternativa (usando estatística Z observada e p-valor) — para reforçar a conclusão: a estatística de teste padronizada é
O p-valor (probabilidade de obter valor tão extremo ou mais sob
) é
Como
, também concluímos por não rejeitar
.
- Interpretação prática e encorajamento: isso significa que, com a amostra de 64 cigarros e assumindo
, não há evidência estatística suficiente (ao nível de 4%) para afirmar que a média de nicotina da nova fórmula é menor que . Pode ser frustrante, mas lembra: “não rejeitar ” não prova que , apenas que a amostra não trouxe evidência forte o suficiente contra isso com o nível de risco escolhido.
Resposta
(a) Porque
deve representar o status quo (não redução) e
a afirmação que se quer provar (redução); isso coloca o ônus da prova em quem alega a redução e permite controlar o erro tipo I.
(b) Porque é um teste unilateral à esquerda, então a RC é a área à esquerda de
; sob
usamos
para calibrar
de modo que
. Aqui
é a área sombreada (risco de erro tipo I),
é o ponto crítico gerado por esse
, e
é a média observada que será comparada com
.
(c) (valor exato calculado
).
(d) Não rejeitamos (porque
); logo, com
, não há evidência suficiente para concluir que
.
(b) Porque
(c)
(d) Não rejeitamos