Assinale verdadeiro ou falso, justificando, para cada uma das afirmações abaixo referentes a transformações lineares T: V W entre dois espaços vetoriais V e W de dimensão finita:
( ) Se Ker(T)=0, então T é um isomorfismo;
( ) Se Im(T)=W, então dim V >= dim W;
( ) Se dim V=dim W e Im(T)=W, então T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado traz três afirmações sobre uma transformação linear Tcolon Vto W, com dim V e dim W finitas, envolvendo ker(T), Im(T) e isomorfismo. Para analisá-las vamos usar a definição de isomorfismo (injeção + sobrejeção) e o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e da Imagem):
dim V = dimker(T) + dimIm(T)

Passo 2

Afirmação 1: “Se ker(T)=0, então T é um isomorfismo.”
Ter ker(T)=0 significa apenas que T é injetora, mas nada garante que seja sobrejetora. Por exemplo, defina
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (x,y,0)
Aqui ker(T)=(0,0), mas Im(T) é o plano z=0, estritamente contido em R^3. Logo T não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.
Conclusão: essa afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: “Se Im(T)=W, então dim V>=dim W.”
Ter Im(T)=W significa que T é sobrejetora, logo
dimIm(T) = dim W
Pelo Teorema da Dimensão:
dim V = dimker(T) + dimIm(T) = dimker(T) + dim W >= dim W
(sendo dimker(T)>=0).
Conclusão: essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação 3: “Se dim V=dim W e Im(T)=W, então T é um isomorfismo.”
Como Im(T)=W, temos dimIm(T)=dim W=dim V. Então, da igualdade
dim V = dimker(T) + dimIm(T)
vem dimker(T)=0, ou seja, ker(T)=0. Então T é injetora e também sobrejetora, ou seja, bijetora, logo um isomorfismo.
Conclusão: essa afirmação é verdadeira.

Resposta

(F), (V), (V)

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