Assinale verdadeiro ou falso, justificando, para cada uma das afirmações abaixo referentes a transformações lineares
entre dois espaços vetoriais
e
de dimensão finita:
( ) Se
, então
é um isomorfismo;
( )
, então
;
( ) Se
e
, então T é um isomorfismo.
( ) Se
( )
( ) Se
Passo 1
O enunciado traz três afirmações sobre uma transformação linear
, com
e
finitas, envolvendo
,
e isomorfismo. Para analisá-las vamos usar a definição de isomorfismo (injeção
sobrejeção) e o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e da Imagem):
Passo 2
Afirmação
: “Se
, então
é um isomorfismo.”
Ter significa apenas que
é injetora, mas nada garante que seja sobrejetora. Por exemplo, defina
Ter
Aqui
, mas
é o plano
, estritamente contido em
. Logo
não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.
Conclusão: essa afirmação é falsa.
Conclusão: essa afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação
: “Se
, então
.”
Ter significa que
é sobrejetora, logo
Ter
Pelo Teorema da Dimensão:
(sendo
).
Conclusão: essa afirmação é verdadeira.
Conclusão: essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação
: “Se
e
, então
é um isomorfismo.”
Como , temos
. Então, da igualdade
Como
vem
, ou seja,
. Então
é injetora e também sobrejetora, ou seja, bijetora, logo um isomorfismo.
Conclusão: essa afirmação é verdadeira.
Conclusão: essa afirmação é verdadeira.
Resposta
(F), (V), (V)