Seja D um domínio de integridade. Mostre que se D[X] é um DIP, então D é um corpo.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e o que precisamos. Seja D um domínio de integridade (ou seja, um anel comutativo com 1neq0 e sem divisores de zero). Suponha que o anel de polinômios D[X] seja um domínio de ideais principais (DIP ou PID). Precisamos mostrar que D é um corpo, ou seja, que todo elemento não-zero de D é invertível.

Passo 2

Lembramos de um fato fundamental sobre PIDs: em um DIP, todo ideal primo não-nulo é maximal. Mais precisamente, se R é PID e Psubset R é ideal primo com Pneq(0), então P é maximal. Consequentemente, o quociente R/P é um corpo.

Passo 3

Mostramos que o polinômio Xin D[X] é irreduzível. De fato, se houvesse fatoração
X = f(X),g(X)
com f,gin D[X] não unidades, então deg(f) e deg(g) seriam ambos >=1, o que implicaria deg(f)+deg(g)=deg(X)=1, impossível. Logo em qualquer fatoração um dos fatores tem grau zero e, por comparação de coeficientes, esse fator constante deve ser unidade. Assim X é irreduzível.

Passo 4

Como D[X] é PID, de X irreduzível decorre que o ideal (X)subset D[X] é primo. Além disso (X)neq(0), pois X não é o polinômio zero. Pelo Passo 2, (X) é então maximal e o quociente
D[X]/(X)
é um corpo.

Passo 5

Observe que enviar Xmapsto0 define um homomorfismo de avaliação
varphicolon D[X]to D, varphil(sum ai X^ir)=a0,
cujos nú
adcleo é exatamente (X). Pelo teorema do isomorfismo,
D[X]/(X);cong;D
Como mostramos que D[X]/(X) é corpo, segue que D também é corpo.

Resposta

Concluímos que D é um corpo.

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