Seja
um domínio de integridade. Mostre que se
é um DIP, então
é um corpo.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e o que precisamos. Seja
um domínio de integridade (ou seja, um anel comutativo com
e sem divisores de zero). Suponha que o anel de polinômios
seja um domínio de ideais principais (DIP ou PID). Precisamos mostrar que
é um corpo, ou seja, que todo elemento não-zero de
é invertível.
Passo 2
Lembramos de um fato fundamental sobre PIDs: em um DIP, todo ideal primo não-nulo é maximal. Mais precisamente, se
é PID e
é ideal primo com
, então
é maximal. Consequentemente, o quociente
é um corpo.
Passo 3
Mostramos que o polinômio
é irreduzível. De fato, se houvesse fatoração
com
não unidades, então
e
seriam ambos
, o que implicaria
, impossível. Logo em qualquer fatoração um dos fatores tem grau zero e, por comparação de coeficientes, esse fator constante deve ser unidade. Assim
é irreduzível.
Passo 4
Como
é PID, de
irreduzível decorre que o ideal
é primo. Além disso
, pois
não é o polinômio zero. Pelo Passo 2,
é então maximal e o quociente
é um corpo.
Passo 5
Observe que enviar
define um homomorfismo de avaliação
cujos nú
adcleo é exatamente
. Pelo teorema do isomorfismo,
Como mostramos que
é corpo, segue que
também é corpo.
Resposta
Concluímos que
é um corpo.