Defina domínio Euclidiano e mostre que Z é um domínio Euclidiano em relação a função varphi: Z backslash0 0 cup N dada por varphi(a)=a^2.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é um domínio Euclidiano e depois mostrar que o conjunto dos números inteiros, Z, é um domínio Euclidiano usando a função varphi(a) = a^2. Basicamente, estamos trabalhando com teoria dos anéis na matemática, que estuda estruturas como os números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um domínio Euclidiano. Um domínio Euclidiano é um tipo especial de anel com certas propriedades que nos permitem fazer divisões com resto, parecido com a divisão que fazemos na aritmética comum.
Mais formalmente, um anel R é chamado de domínio Euclidiano se existe uma função varphi: R setminus 0 N (onde N são os números naturais) que satisfaz duas condições:
  1. Divisão com resto: Para quaisquer elementos a e b em R, com b neq 0, existem q e r em R tal que a = bq + r e ou r = 0 ou varphi(r) < varphi(b).
  2. Nenhum outro divisor a não ser os invertíveis: Para qualquer a em R, se a divide 0, então a deve ser zero ou invertível.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos números inteiros Z. Queremos mostrar que Z é um domínio Euclidiano com a função varphi(a) = a^2.
Primeiro, observamos que varphi(a) = a^2 é uma função que atribui a cada inteiro não zero seu quadrado, que é sempre um número natural ou zero.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: Divisão com resto. Seja a e b dois inteiros, com b neq 0. Precisamos encontrar inteiros q e r tal que:
a = bq + r
e
varphi(r) < varphi(b) ou r = 0
Na prática, isso significa que podemos dividir a por b e obter um quociente q e um resto r que seja menor em módulo que b.
Na aritmética dos inteiros, sabemos que para qualquer a e b neq 0, existe um quociente q e um resto r tais que:
a = bq + r onde 0 <= r < |b|
Aqui, |b| é o valor absoluto de b. Isso garante que r^2 < b^2, ou seja, varphi(r) < varphi(b), já que estamos usando a função varphi(a) = a^2.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: Nenhum outro divisor a não ser os invertíveis. Em Z, os únicos elementos invertíveis são 1 e -1, pois são os únicos números cuja multiplicação por outro inteiro resulta em 1.
Se um inteiro a divide 0, ou seja, a cdot k = 0 para algum k em Z, então ou a = 0 ou k = 0. Isso satisfaz a condição, já que não existem outros divisores de zero além de 0 em Z.

Resposta

Portanto, como Z satisfaz as duas condições de um domínio Euclidiano com a função varphi(a) = a^2, concluímos que Z é de fato um domínio Euclidiano em relação a essa função.

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