Defina domínio Euclidiano e mostre que
é um domínio Euclidiano em relação a função
dada por
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é um domínio Euclidiano e depois mostrar que o conjunto dos números inteiros,
, é um domínio Euclidiano usando a função
. Basicamente, estamos trabalhando com teoria dos anéis na matemática, que estuda estruturas como os números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um domínio Euclidiano. Um domínio Euclidiano é um tipo especial de anel com certas propriedades que nos permitem fazer divisões com resto, parecido com a divisão que fazemos na aritmética comum.
Mais formalmente, um anel
é chamado de domínio Euclidiano se existe uma função
(onde
são os números naturais) que satisfaz duas condições:
- Divisão com resto: Para quaisquer elementos
e em , com , existem e em tal que e ou ou . - Nenhum outro divisor a não ser os invertíveis: Para qualquer
em , se divide , então deve ser zero ou invertível.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos números inteiros
. Queremos mostrar que
é um domínio Euclidiano com a função
.
Primeiro, observamos que
é uma função que atribui a cada inteiro não zero seu quadrado, que é sempre um número natural ou zero.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: Divisão com resto. Seja
e
dois inteiros, com
. Precisamos encontrar inteiros
e
tal que:
e
Na prática, isso significa que podemos dividir
por
e obter um quociente
e um resto
que seja menor em módulo que
.
Na aritmética dos inteiros, sabemos que para qualquer
e
, existe um quociente
e um resto
tais que:
Aqui,
é o valor absoluto de
. Isso garante que
, ou seja,
, já que estamos usando a função
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição: Nenhum outro divisor a não ser os invertíveis. Em
, os únicos elementos invertíveis são
e
, pois são os únicos números cuja multiplicação por outro inteiro resulta em
.
Se um inteiro
divide
, ou seja,
para algum
em
, então ou
ou
. Isso satisfaz a condição, já que não existem outros divisores de zero além de
em
.
Resposta
Portanto, como
satisfaz as duas condições de um domínio Euclidiano com a função
, concluímos que
é de fato um domínio Euclidiano em relação a essa função.