Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o anel quociente
é isomorfo ao anel dos inteiros gaussianos
O conteúdo principal envolve definir um homomorfismo de anéis, identificar seu núcleo e usar o Teorema do Isomorfismo, junto com o Lema de Gauss para garantir divisão em
.
Passo 2
Definimos o homomorfismo de avaliação
É claro que
preserva soma e produto de polinômios, e é sobrejetora porque dado
basta tomar
para que
.
Passo 3
Verificamos que
vai para zero:
Logo
.
Passo 4
Para ver a igualdade de ideais
, tomamos
, ou seja
. Então
é fator de
em
. Como
é polinômio primitivo em
, o Lema de Gauss garante que, de fato, existe
tal que
Assim
, e concluímos
.
Passo 5
Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo para anéis, temos
Como
, chega-se ao resultado desejado.