Mostre que
Z[X](X^2+1) simeq Z[i]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o anel quociente
Z[X]l(X^2+1r)
é isomorfo ao anel dos inteiros gaussianos
Z[i] = ,a + b,i mid a,binZ,,i^2=-1
O conteúdo principal envolve definir um homomorfismo de anéis, identificar seu núcleo e usar o Teorema do Isomorfismo, junto com o Lema de Gauss para garantir divisão em Z[X].

Passo 2

Definimos o homomorfismo de avaliação
phicolon Z[X] longrightarrow Z[i], phil(f(X)r)=f(i)
É claro que phi preserva soma e produto de polinômios, e é sobrejetora porque dado a+biinZ[i] basta tomar f(X)=a+bX para que phi(f)=a+bi.

Passo 3

Verificamos que X^2+1 vai para zero:
phil(X^2+1r)=i^2+1=-1+1=0
Logo l(X^2+1r)subseteqkerphi.

Passo 4

Para ver a igualdade de ideais kerphi=(X^2+1), tomamos finkerphi, ou seja f(i)=0. Então X^2+1 é fator de f em Q[X]. Como X^2+1 é polinômio primitivo em Z[X], o Lema de Gauss garante que, de fato, existe ginZ[X] tal que
f(X)=(X^2+1),g(X)
Assim kerphisubseteq(X^2+1), e concluímos kerphi=(X^2+1).

Passo 5

Pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo para anéis, temos
Z[X]kerphi ;simeq; Im,phi ;=;Z[i]
Como kerphi=(X^2+1), chega-se ao resultado desejado.

Resposta

Z[X]l(X^2+1r) simeq Z[i]

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