Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
Para calcular integral d xraiz9+e^2 x podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, obtendo assim ln (e^x+raiz9+e^2 x)+C;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se é verdadeiro ou falso que, para calcular a integral integral dxraiz9 + e^2x, podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica e, assim, obter a solução ln (e^x + raiz9 + e^2x) + C. Vamos explorar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é substituição trigonométrica. É uma técnica usada para integrar expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios quadráticos. Ela geralmente envolve substituir uma parte da integral por uma função trigonométrica para simplificar a expressão.
No nosso caso, temos raiz9 + e^2x. Isso se assemelha a raiza^2 + u^2, onde a = 3 e u = e^x.

Passo 3

Vamos tentar aplicar a substituição trigonométrica para resolver a integral:
integral dxraiz9 + e^2x
Vamos fazer a troca u = e^x. Então, derivando ambos os lados:
du = e^x dx Rightarrow dx = duu
Agora, substituímos na integral:
integral 1raiz9 + u^2 cdot duu = integral duu raiz9 + u^2
Essa integral não se encaixa diretamente nas fórmulas padrão de substituição trigonométrica, que geralmente lidam com integrais da forma integral duraiza^2 - u^2, integral duraiza^2 + u^2 ou integral duraizu^2 - a^2.

Passo 4

Vamos verificar a solução proposta:
ln (e^x + raiz9 + e^2x) + C
Para confirmar se essa é realmente a antiderivada correta, vamos derivar essa expressão e ver se obtemos a função original que queremos integrar.
Derivando:
ddx [ ln (e^x + raiz9 + e^2x ) ] = e^x + e^2xraiz9 + e^2xe^x + raiz9 + e^2x
Simplificando o numerador:
e^x (1 + e^xraiz9 + e^2x )
E o denominador é e^x + raiz9 + e^2x. Parece complicado, mas se simplificarmos, notamos que toda a expressão não simplifica exatamente para 1raiz9 + e^2x, que é a função original que queríamos.

Resposta

Falso. A solução proposta não é correta ao usar substituição trigonométrica para essa integral específica. A antiderivada fornecida não resulta exatamente na função original após a diferenciação, indicando que a abordagem e a solução apresentadas estão incorretas.

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