Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
Para calcular
podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, obtendo assim
;
Para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se é verdadeiro ou falso que, para calcular a integral
, podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica e, assim, obter a solução
. Vamos explorar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é substituição trigonométrica. É uma técnica usada para integrar expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios quadráticos. Ela geralmente envolve substituir uma parte da integral por uma função trigonométrica para simplificar a expressão.
No nosso caso, temos
. Isso se assemelha a
, onde
e
.
Passo 3
Vamos tentar aplicar a substituição trigonométrica para resolver a integral:
Vamos fazer a troca
. Então, derivando ambos os lados:
Agora, substituímos na integral:
Essa integral não se encaixa diretamente nas fórmulas padrão de substituição trigonométrica, que geralmente lidam com integrais da forma
,
ou
.
Passo 4
Vamos verificar a solução proposta:
Para confirmar se essa é realmente a antiderivada correta, vamos derivar essa expressão e ver se obtemos a função original que queremos integrar.
Derivando:
Simplificando o numerador:
E o denominador é
. Parece complicado, mas se simplificarmos, notamos que toda a expressão não simplifica exatamente para
, que é a função original que queríamos.
Resposta
Falso. A solução proposta não é correta ao usar substituição trigonométrica para essa integral específica. A antiderivada fornecida não resulta exatamente na função original após a diferenciação, indicando que a abordagem e a solução apresentadas estão incorretas.