Use as propriedades lineares de séries para:
sumn=1^infty sen(1n)+2^-n-sen(1n+1) verificar a convergência.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^inftyl(sin(1/n)+2^-n-sin(1/(n+1))r). O conteúdo aqui é séries numéricas, e vamos precisar usar a propriedade de linearidade (podemos separar a soma em três séries) e reconhecer um termo telescópico.

Passo 2

Separamos a soma em três séries usando linearidade:
sumn=1^inftysin(1/n)+sumn=1^infty2^-n-sumn=1^inftysin(1/(n+1))

Passo 3

Repare que as duas séries com senos podem ser combinadas num telescópico. Para a soma parcial até N:
SN^(tel)=sumn=1^Nl(sin(1/n)-sin(1/(n+1))r)=sin(1)-sinl(1/(N+1)r) Como limNtoinftysinl(1/(N+1)r)=sin(0)=0, o termo telescópico converge e
sumn=1^inftyl(sin(1/n)-sin(1/(n+1))r)=sin(1)

Passo 4

A série geométrica sumn=1^infty2^-n é famosa e converge a 1, pois
sumn=1^infty2^-n=1/21-1/2=1

Passo 5

Como soma de séries convergentes (o telescópico dá sin(1) e a geométrica dá 1), concluímos que a série original converge.
Portanto, usando linearidade e o telescópio, a série converge.

Resposta

A série converge (e seu valor total é sin(1)+1).

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