Use as propriedades lineares de séries para:
verificar a convergência.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
. O conteúdo aqui é séries numéricas, e vamos precisar usar a propriedade de linearidade (podemos separar a soma em três séries) e reconhecer um termo telescópico.
Passo 2
Separamos a soma em três séries usando linearidade:
Passo 3
Repare que as duas séries com senos podem ser combinadas num telescópico. Para a soma parcial até
:
Passo 4
A série geométrica
é famosa e converge a 1, pois
Passo 5
Como soma de séries convergentes (o telescópico dá
e a geométrica dá 1), concluímos que a série original converge.
Portanto, usando linearidade e o telescópio, a série converge.
Portanto, usando linearidade e o telescópio, a série converge.
Resposta
A série converge (e seu valor total é
).