Conclua sobre a convergência da sequencia a^n nos seguintes casos:
a=-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência a^n quando a=-1. Esse é um problema de limites de sequência, em especial da sequência geométrica, e vamos usar a definição de convergência de sequência para concluir se ela converge ou não.

Passo 2

Substituindo o valor de a, temos que o termo geral é
a^n = (-1)^n
Para estudar a convergência, lembramos que uma sequência xn converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que |xn - L| sempre que n>= N.

Passo 3

Observamos que
  • Se n é par, então (-1)^n = 1.
  • Se n é ímpar, então (-1)^n = -1.
    Ou seja, há duas subsequências: uma que é constantemente 1 e outra que é constantemente -1. Cada uma delas converge, mas para limites diferentes.

Passo 4

Como as duas subsequências convergem para valores distintos (uma para 1 e outra para -1), não existe um único L que satisfaça a definição de convergência para toda a sequência. Portanto, a sequência não converge.

Resposta

A sequência ((-1)^n) diverge, pois os termos oscilam entre -1 e 1 e não se aproximam de um único valor.

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