Conclua sobre a convergência da sequencia
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
quando
. Esse é um problema de limites de sequência, em especial da sequência geométrica, e vamos usar a definição de convergência de sequência para concluir se ela converge ou não.
Passo 2
Substituindo o valor de
, temos que o termo geral é
Para estudar a convergência, lembramos que uma sequência
Passo 3
Observamos que
- Se
é par, então . - Se
é ímpar, então .
Ou seja, há duas subsequências: uma que é constantementee outra que é constantemente . Cada uma delas converge, mas para limites diferentes.
Passo 4
Como as duas subsequências convergem para valores distintos (uma para
e outra para
), não existe um único
que satisfaça a definição de convergência para toda a sequência. Portanto, a sequência não converge.
Resposta
A sequência
diverge, pois os termos oscilam entre
e
e não se aproximam de um único valor.