^ a ) Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
i. Para calcular integral d xraiz25 x^2+4, a substituição x=5 sen theta é adequada;

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para dizer se é verdadeiro ou falso que, para calcular a integral $ \int \frac{dx}{\sqrt{25x^{2}+4}} $, a substituição $ x = 5 \sin \theta $ é adequada. Vamos usar conceitos de cálculo integral e substituições trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual tipo de substituição trigonométrica é apropriada para integrais envolvendo expressões do tipo $ \sqrt{a{2}x{2} + b^{2}} $. Normalmente, usamos substituições que simplificam a expressão dentro da raiz.

Passo 3

A substituição $ x = 5 \sin \theta $ é típica para expressões que têm a forma $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $, porque $ \sin \theta $ varia entre -1 e 1, o que se encaixa bem nessa estrutura. No nosso caso, temos $ \sqrt{25x^{2} + 4} $, que não se encaixa nessa forma.

Passo 4

Para a expressão $ \sqrt{25x^{2} + 4} $, uma substituição mais adequada seria algo como $ x = \frac{2}{5} \tan \theta $, que nos ajuda a simplificar a raiz usando identidades trigonométricas.

Passo 5

Portanto, ao usar $ x = 5 \sin \theta $ para a integral $ \int \frac{dx}{\sqrt{25x^{2}+4}} $, não simplificamos a expressão como esperado e acabamos complicando a integral.

Resposta

Falso. A substituição $ x = 5 \sin \theta $ não é adequada para calcular a integral $ \int \frac{dx}{\sqrt{25x^{2}+4}} $ porque não simplifica a expressão dentro da raiz como necessário.

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