) Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
ii. Para calcular
, podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, obtendo
ii. Para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar nossa resposta. A afirmação é sobre calcular a integral
usando uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, chegando na solução
. Vamos resolver isso passo a passo, entendendo a matéria envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma substituição trigonométrica. Ela é uma técnica usada para integrar funções que envolvem expressões como
,
ou
substituindo
por uma função trigonométrica que simplifica a expressão. Existem seis fórmulas básicas para essas substituições.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Observamos que isso se encaixa na forma
, onde
e
. A substituição trigonométrica apropriada aqui seria
, ou seja,
. Isso nos ajuda a simplificar a integral.
Passo 4
Vamos fazer a substituição passo a passo:
- Substituição: Seja
, então . - A integral original se transforma em
. - Agora, aplicamos a substituição trigonométrica:
, então . - Substituindo na integral:
. - A integral de
é . - Voltando para
: . - Portanto, a solução final em termos de
é . - Substituindo
, temos .
Resposta
Verdadeiro. Podemos calcular a integral usando uma substituição trigonométrica adequada, obtendo
.