^ a ) Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
ii. Para calcular integral e^x d xraiz9+e^2 x, podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, obtendo assim ln (e^x+raiz9+e^2 x)+C ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar nossa resposta. A afirmação é sobre calcular a integral integral e^xraiz9 + e^2x , dx usando uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, chegando na solução ln(e^x+raiz9+e^2x)+C. Vamos resolver isso passo a passo, entendendo a matéria envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma substituição trigonométrica. Ela é uma técnica usada para integrar funções que envolvem expressões como raiza^2 - x^2, raiza^2 + x^2 ou raizx^2 - a^2 substituindo x por uma função trigonométrica que simplifica a expressão. Existem seis fórmulas básicas para essas substituições.

Passo 3

No nosso caso, temos raiz9 + e^2x. Observamos que isso se encaixa na forma raiza^2 + u^2, onde a = 3 e u = e^x. A substituição trigonométrica apropriada aqui seria u = a tan(theta), ou seja, e^x = 3 tan(theta). Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 4

Vamos fazer a substituição passo a passo:
  1. Substituição: Seja u = e^x, então du = e^x dx.
  2. A integral original se transforma em integral duraiz9 + u^2.
  3. Agora, aplicamos a substituição trigonométrica: u = 3 tan(theta), então du = 3 sec^2(theta) dtheta.
  4. Substituindo na integral: integral 3 sec^2(theta) dthetaraiz9 + 9 tan^2(theta) = integral 3 sec^2(theta) dtheta3 sec(theta) = integral sec(theta) dtheta.
  5. A integral de sec(theta) é ln |sec(theta) + tan(theta)| + C.
  6. Voltando para u: sec(theta) = raiz1 + tan^2(theta) = raiz1 + (u/3)^2 = raiz9 + u^23.
  7. Portanto, a solução final em termos de u é ln(u + raiz9 + u^2) + C.
  8. Substituindo u = e^x, temos ln(e^x + raiz9 + e^2x) + C.

Resposta

Verdadeiro. Podemos calcular a integral usando uma substituição trigonométrica adequada, obtendo ln(e^x+raiz9+e^2x)+C.

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