Qual das equações diferenciais a seguir é tal que todas as suas soluções tendem a um múltiplo de e^-t quando t infty.
Escolha uma opção:
y^prime prime-2 y^prime-2=0
y^prime prime+2 y^prime+1=0
y^prime prime-3 y^prime-1=0
y^prime prime+3 y^prime+2=0
Nenhuma das demais alternativas
y^prime prime+3 y^prime-2=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos várias equações diferenciais de segunda ordem e precisamos descobrir qual delas tem todas as suas soluções se aproximando de um múltiplo de $ e^{-t} $ quando $ t $ tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e analisar as soluções das equações características associadas a cada equação diferencial apresentada.

Passo 2

Vamos começar lembrando que uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes pode ser escrita na forma:
y'' + a y' + b y = 0
Para resolver essa equação, encontramos a equação característica associada:
r^2 + a r + b = 0
As raízes dessa equação, $ r_1 $ e $ r_2 $, determinam a forma geral das soluções da equação diferencial. Dependendo dos valores das raízes, as soluções podem ser de diferentes tipos: reais e distintas, reais e iguais, ou complexas conjugadas.

Passo 3

Vamos analisar cada opção apresentada na questão, encontrando as raízes da equação característica e determinando o comportamento das soluções quando $ t $ tende ao infinito.
Opção A: $ y’’ - 2y’ - 2 = 0 $
Aqui, a equação não está na forma padrão $ y’’ + a y’ + b y = 0 $. Podemos rearranjá-la para:
t
Esta é uma equação não homogênea. Porém, como queremos soluções homogêneas tendendo a $ e^{-t} $, essa opção pode ser descartada por não ser homogênea.
Opção B: $ y’’ + 2y’ + 1 = 0 $
Rearranjando:
y'' - 2y' - 2 = 0
Novamente, é uma equação não homogênea. Descartamos esta opção pelo mesmo motivo.
Opção C: $ y’’ - 3y’ - 1 = 0 $
Rearranjando:
y'' + a y' + b y = 0
Outra equação não homogênea. Descartamos.
Opção D: $ y’’ + 3y’ + 2 = 0 $
Rearranjando:
y'' - 2y' = 2
Também uma equação não homogênea. Descartamos.
Opção E: Nenhuma das demais alternativas
Vamos verificar a última opção.
Opção F: $ y’’ + 3y’ - 2 = 0 $
Rearranjando:
e^-t
Mais uma equação não homogênea. Porém, todas as opções apresentadas são não homogêneas, o que sugere que precisamos reconsiderar nossa análise.

Passo 4

Parece que houve uma confusão inicialmente. Na verdade, todas as equações apresentadas na questão são não homogêneas devido ao termo constante. Para que todas as soluções tendam a um múltiplo de $ e^{-t} $ quando $ t \rightarrow \infty $, a equação deveria ser homogênea. Portanto, a opção correta é:

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas atende à condição requerida. Portanto, a resposta correta é:
Nenhuma das demais alternativas.

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