Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
integral0^4 xx^2-1 d x-12 ln 15;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a igualdade entre a integral imprópria
integral0^4 xx^2-1,dx
e o valor tfrac12ln15. O conteúdo aqui é “integrais impróprias” e vamos precisar analisar possíveis singularidades no intervalo de integração.

Passo 2

Observamos que o integrando xx^2-1 tem singularidade quando x^2-1=0, isto é, em x=1. Logo, devemos escrever a integral como soma de dois integrais impróprios:
integral0^4 xx^2-1,dx =limato1^-integral0^axx^2-1,dx +limbto1^+integralb^4xx^2-1,dx

Passo 3

Para estudar a divergência, notamos que perto de x=1 podemos fazer expansão simples. Como
xx^2-1 = x(x-1)(x+1)
perto de x=1 temos xapprox1 e x+1approx2, portanto
xx^2-1 approx 12(x-1)
Mas a integral de 1/(x-1) em torno de x=1 diverge (logaritmo que vai para pminfty).

Passo 4

Isso mostra que cada um dos dois termos impróprios diverge (um diverge para -infty ao integrar até 1^- e o outro para +infty ao sair de 1^+). Logo, a integral original não converge para um número finito e, portanto, não pode ser igual a tfrac12ln15.

Resposta

Falso

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