Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale a igualdade entre a integral imprópria
e o valor
Passo 2
Observamos que o integrando
tem singularidade quando
, isto é, em
. Logo, devemos escrever a integral como soma de dois integrais impróprios:
Passo 3
Para estudar a divergência, notamos que perto de
podemos fazer expansão simples. Como
perto de
temos
e
, portanto
Mas a integral de
em torno de
diverge (logaritmo que vai para
).
Passo 4
Isso mostra que cada um dos dois termos impróprios diverge (um diverge para
ao integrar até
e o outro para
ao sair de
). Logo, a integral original não converge para um número finito e, portanto, não pode ser igual a
.
Resposta
Falso