Assinale verdadeiro ou falso. Justificando, quando verdadeiro, e dando um contraexemplo, quando falso.
, se
é contínua;
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pergunta se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
sendo $ f(x) $ contínua. Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo, especialmente sobre derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a expressão está nos dizendo. Temos uma integral definida de $ f(x) $ de $ a $ até $ b $, e queremos saber qual é a derivada dessa integral em relação a $ x $.
Mas, espera aí! Na integral
, $ x $ é a variável de integração, ou seja, a integral calcula uma área sob a curva de $ f(x) $ entre $ a $ e $ b $. O resultado dessa integral é um número constante, desde que $ a $ e $ b $ sejam constantes.
Passo 3
Agora, vamos pensar na derivada de uma constante. Sabemos que a derivada de qualquer número constante em relação a uma variável é zero. Por exemplo, se $ c $ é uma constante, então:
No nosso caso, $ \int_{a}^{b} f(x) , dx $ é uma constante (pois $ a $ e $ b $ são constantes e $ f(x) $ é contínua). Portanto:
Passo 4
Agora, comparando isso com o lado direito da igualdade:
Isso só seria verdade para todos os $ x $ se $ f(x) $ fosse a função zero em todo o intervalo. Mas no enunciado, $ f(x) $ é apenas uma função contínua qualquer, não necessariamente zero. Portanto, a igualdade só é verdadeira se $ f(x) = 0 $, o que não podemos garantir.
Passo 5
Para reforçar, vamos dar um exemplo. Suponha que $ f(x) = x $, e $ a = 0 $, $ b = 1 $. Calculando a integral:
Agora, a derivada dessa integral em relação a $ x $ é:
Mas $ f(x) = x $, então a igualdade $ 0 = x $ só é verdadeira quando $ x = 0 $. Para outros valores de $ x $, a igualdade não se mantém.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é quando $ f(x) = x $, onde $\frac{d}{dx} \int_{a}^{b} x , dx = 0 $ enquanto $ f(x) = x $, mostrando que $ 0 \neq x $ para $ x \neq 0 $.