Assinale verdadeiro ou falso. Justificando, quando verdadeiro, e dando um contraexemplo, quando falso.
dd x integrala^b f(x) d x=f(x), se f(x) é contínua;

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pergunta se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
dd x integrala^b f(x) , dx = f(x),
sendo $ f(x) $ contínua. Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo, especialmente sobre derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a expressão está nos dizendo. Temos uma integral definida de $ f(x) $ de $ a $ até $ b $, e queremos saber qual é a derivada dessa integral em relação a $ x $.
Mas, espera aí! Na integral f(x) , $ x $ é a variável de integração, ou seja, a integral calcula uma área sob a curva de $ f(x) $ entre $ a $ e $ b $. O resultado dessa integral é um número constante, desde que $ a $ e $ b $ sejam constantes.

Passo 3

Agora, vamos pensar na derivada de uma constante. Sabemos que a derivada de qualquer número constante em relação a uma variável é zero. Por exemplo, se $ c $ é uma constante, então:
c
No nosso caso, $ \int_{a}^{b} f(x) , dx $ é uma constante (pois $ a $ e $ b $ são constantes e $ f(x) $ é contínua). Portanto:
ddx c = 0

Passo 4

Agora, comparando isso com o lado direito da igualdade:
0 = f(x)
Isso só seria verdade para todos os $ x $ se $ f(x) $ fosse a função zero em todo o intervalo. Mas no enunciado, $ f(x) $ é apenas uma função contínua qualquer, não necessariamente zero. Portanto, a igualdade só é verdadeira se $ f(x) = 0 $, o que não podemos garantir.

Passo 5

Para reforçar, vamos dar um exemplo. Suponha que $ f(x) = x $, e $ a = 0 $, $ b = 1 $. Calculando a integral:
f(x) = x
Agora, a derivada dessa integral em relação a $ x $ é:
a = 0
Mas $ f(x) = x $, então a igualdade $ 0 = x $ só é verdadeira quando $ x = 0 $. Para outros valores de $ x $, a igualdade não se mantém.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é quando $ f(x) = x $, onde $\frac{d}{dx} \int_{a}^{b} x , dx = 0 $ enquanto $ f(x) = x $, mostrando que $ 0 \neq x $ para $ x \neq 0 $.

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