Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) A solução da equação x e^-y sen(x) d x-y d y=0 é dada por -x cos (x)+sen(x)= e^y(y-1).

Passo 1

O enunciado fornece a EDO de 1ª ordem da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y) = x,e^-y,sin(x), N(x,y) = -y
Queremos verificar se a solução implícita proposta
-xcos(x) + sin(x) = e^y(y-1)
está correta, lembrando que em geral deve aparecer uma constante de integração.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata, isto é, se
partial Mpartial y = partial Npartial x.
Calculamos
partial Mpartial y = x,ddyl(e^-yr)sin(x) = -,x,e^-ysin(x),
partial Npartial x = 0
Como
partial Mpartial y = -x e^-ysin(x)neq 0 = partial Npartial x,
a EDO não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu que dependa só de y. Para isso, testamos
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr) = 1x e^-ysin(x)l(0 - (-x e^-ysin(x))r) =1,
que é função apenas de y (é constante). Portanto
mu(y) = e^integral 1,dy = e^y

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu(y)=e^y, obtemos
xsin(x),dx ;-; y e^y,dy = 0,
que agora é exata, pois
partial(xsin x)/partial y =0 e partial(-y e^y)/partial x=0.
Definindo Phi(x,y) tal que partialPhi/partial x = xsin(x), vem
Phi(x,y) = integral xsin(x),dx + C(y) = -xcos(x) + sin(x) + C(y)
Como partialPhi/partial y = C'(y) deve igualar -y e^y, temos
C'(y) = -y e^y ;Longrightarrow; C(y) = -!integral y e^y,dy = -y e^y + e^y + K
Logo a solução geral implícita é
-xcos(x) + sin(x) - y e^y + e^y = K Long<=ftrightarrow -xcos(x) + sin(x) = e^y(y-1) + K

Resposta

Falso, pois a forma correta da solução geral inclui a constante de integração K:
-xcos(x) + sin(x) = e^y(y-1) + K

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