Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(j) sumn=1^infty 3-cos nn^3 / 2-2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty an, an = 3 - cos nn^3/2 - 2
O conteúdo aqui é teste de comparação com uma série p-série, já que, para n grande, o comportamento de an é parecido com uma constante dividida por n^3/2.

Passo 2

Primeiro, note que para todo n
-1 <= cos n <= 1 Longrightarrow 2 <= 3 - cos n <= 4
Para n>= 2 temos
n^3/2 - 2 ;>=; n^3/2 - tfrac12,n^3/2 ;=;tfrac12,n^3/2,
pois 2 <= tfrac12,n^3/2 quando n>= 2.

Passo 3

Com isso, para n>= 2
an = 3-cos n,n^3/2-2, ;<=; 4tfrac12,n^3/2 = 8n^3/2
Como a série
sumn=2^infty 8n^3/2
é um p-série com p = tfrac32 > 1 (logo convergente), pelo teste da comparação direta a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3-cos nn^3/2-2 converge.

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