Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para resolver a equação (1+e^x) d yd x+e^x y=0 como uma EDO Linear de Primeira Ordem, é preciso que o fator integrante seja mu(x)=e^x.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro ou falso o método de resolver a equação
(1+e^x),dydx + e^x,y = 0
tratando-a como uma EDO linear de primeira ordem e afirmando que o fator integrante seria mu(x)=e^x. Vamos lembrar o procedimento geral para encontrar o fator integrante em uma EDO linear.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no formato padrão
dydx + P(x),y = Q(x)
Dividindo toda a equação por 1+e^x, obtemos
dydx + e^x1+e^x,y = 0
Então aqui P(x)=e^x1+e^x e Q(x)=0.

Passo 3

O fator integrante mu(x) em uma EDO linear é dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr)
No nosso caso, calculamos
integral P(x),dx = integral e^x1+e^x,dx
Fazendo a substituição u=1+e^x, du=e^xdx, vem
integral e^x1+e^x,dx = integral duu = lnl(1+e^xr)

Passo 4

Logo
mu(x) = expl(ln(1+e^x)r) = 1+e^x
Portanto o fator integrante correto é mu(x)=1+e^x, não mu(x)=e^x.

Resposta

Falso. mu(x)=1+e^x, não e^x.

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