Verifique se são convergentes:
(i) sumn=1^+infty 1n 2^n
7
Se f(n) L, então prove que sumn=1^+infty[f(n)-f(n+1)]=f(1)-L.
8
Prove que:
(a) sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k=34

Passo 1

O enunciado traz três problemas de séries infinitas. Primeiro, (i) testar a convergência de
sumn=1^infty1n,2^n
Depois, (7) provar que se ,f(n)to L então
sumn=1^inftyl(f(n)-f(n+1)r)=f(1)-L
Por fim, (8 a) calcular
sumk=1^infty3^k+5^k15^k
Vamos usar o teste da razão, telescopia de somas parciais e soma de séries geométricas.

Passo 2

Para an=1n,2^n aplicamos o teste da razão:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty1/((n+1)2^n+1)1/(n,2^n) =limntoinftyn2(n+1) =12<1
Como o limite é menor que 1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Considere a soma parcial
SN=sumn=1^Nl(f(n)-f(n+1)r)
Ao expandir em telescópio, percebe-se que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando
SN = l[f(1)-f(2)r]+l[f(2)-f(3)r]+cdots+l[f(N)-f(N+1)r] = f(1)-f(N+1)
Como f(N+1)to L quando Ntoinfty, segue
sumn=1^inftyl(f(n)-f(n+1)r) =limNtoinftySN =f(1)-L

Passo 4

Para
sumk=1^infty3^k+5^k15^k separe em duas geométricas:
sumk=1^infty3^k15^k +sumk=1^infty5^k15^k =sumk=1^inftyl(tfrac15r)^k +sumk=1^inftyl(tfrac13r)^k
Cada soma é
sumk=1^inftyr^k=r1-r
Logo
sumk=1^inftyl(tfrac15r)^k =tfrac151-tfrac15=14, sumk=1^inftyl(tfrac13r)^k =tfrac131-tfrac13=12,
e a soma total é
14+12=34

Resposta

(i) A série sumn=1^inftytfrac1n,2^n converge pelo teste da razão.
(7) sumn=1^infty[f(n)-f(n+1)]=f(1)-L
(8 a) sumk=1^infty3^k+5^k15^k=34

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