Verifique se são convergentes:
(i)
7
Se
, então prove que
.
8
Prove que:
(a)
(i)
7
Se
8
Prove que:
(a)
Passo 1
O enunciado traz três problemas de séries infinitas. Primeiro, (i) testar a convergência de
Depois, (7) provar que se
então
Por fim, (8 a) calcular
Vamos usar o teste da razão, telescopia de somas parciais e soma de séries geométricas.
Passo 2
Para
aplicamos o teste da razão:
Como o limite é menor que 1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 3
Considere a soma parcial
Ao expandir em telescópio, percebe-se que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando
Como
f(N+1)to L quando
Ntoinfty , segue
Passo 4
Para
sumk=1^infty3^k+5^k15^k separe em duas geométricas:
Cada soma é
Logo
e a soma total é
Resposta
(i) A série
sumn=1^inftytfrac1n,2^n converge pelo teste da razão.
(7)sumn=1^infty[f(n)-f(n+1)]=f(1)-L
(8 a)sumk=1^infty3^k+5^k15^k=34
(7)
(8 a)