Assinale V (verdadeiro) ou F (falso). Justifique sua resposta. Respostas sem justificativa não serão consideradas.
(v) Os vetores \vec{u}=(4,-6,2) e \vec{v}=(-6,9,-3) são paralelos.
(F) Os vetores \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(-1,0,1) são ortogonais.
( ) O ângulo entre os vetores \vec{u}=(1,1,4) e \vec{v}=(-1,2,2) é 45^{\circ}.
( ) O vetor \vec{w}=(10,-10,5) é simultaneamente ortogonal a \vec{u}=(1,-1,-4) e \vec{v}=(3,2,-2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando produto escalar e proporção de componentes, se cada par de vetores é paralelo, ortogonal ou forma certo ângulo. Vamos usar:
1. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro.
2. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar é zero.
3. O cosseno do ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v} é dado por
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Verificando paralelismo entre \vec{u}=(4,-6,2) e \vec{v}=(-6,9,-3):
Propondo \vec{v}=k\,\vec{u}, obtemos
k = \frac{-6}{4} = -\tfrac32,\quad k = \frac{9}{-6} = -\tfrac32,\quad k = \frac{-3}{2} = -\tfrac32.
Como dá o mesmo k=-\tfrac32 em todas as componentes, são paralelos \Rightarrow V.

Passo 3

Verificando ortogonalidade entre \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(-1,0,1):
\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot(-1) + 1\cdot0 + 0\cdot1 = -1 \neq 0.
Logo não são ortogonais \Rightarrow F.

Passo 4

Calculando o ângulo entre \vec{u}=(1,1,4) e \vec{v}=(-1,2,2):
\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot(-1) + 1\cdot2 + 4\cdot2 = -1 + 2 + 8 = 9,
\|\vec{u}\| = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18},\quad \|\vec{v}\| = \sqrt{1+4+4} = 3,
\cos\theta = \frac{9}{\sqrt{18}\,3} = \frac{9}{3\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad \theta = 45^\circ.
Portanto é 45\circ\Rightarrow V.

Passo 5

Verificando se \vec{w}=(10,-10,5) é ortogonal a \vec{u}=(1,-1,-4) e \vec{v}=(3,2,-2):
\vec{w}\cdot\vec{u} = 10\cdot1 + (-10)\cdot(-1) + 5\cdot(-4) = 10 + 10 -20 = 0,
\vec{w}\cdot\vec{v} = 10\cdot3 + (-10)\cdot2 + 5\cdot(-2) = 30 -20 -10 = 0.
Como anula em ambos, é ortogonal a \vec{u} e \vec{v} \Rightarrow V.

Resposta

(V)
(F)
(V)
(V)

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