Dados os vetores \vec{u}=(1,-1,1) e \vec{v}=(2,-3,4), calcule:
a) u \cdot v;
b) u \times v;
c) a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v}. Pontuação: \mathbf{0 , 5} ponto.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,-1,1) e \vec{v}=(2,-3,4) e pede:
  • o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v},
  • o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v},
  • e a área do paralelogramo por eles gerado.
    Vamos usar as fórmulas
    \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
    \vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1)
    e área =\|\vec{u}\times\vec{v}\|.

Passo 2

Aplicando a definição do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} =1\cdot2 + (-1)\cdot(-3) + 1\cdot4 =2 + 3 + 4 =9.

Passo 3

Para o produto vetorial usamos
\vec{u}\times\vec{v} =(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Substituindo u_1=1, u_2=-1, u_3=1, v_1=2, v_2=-3, v_3=4:
\vec{u}\times\vec{v} =\bigl((-1)\cdot4 - 1\cdot(-3),\;1\cdot2 - 1\cdot4,\;1\cdot(-3) - (-1)\cdot2\bigr) =(-1,\,-2,\,-1).

Passo 4

A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} =\sqrt{1 + 4 + 1} =\sqrt{6}.

Resposta

a) \,9
b) \,(-1,\,-2,\,-1)
c) \,\sqrt{6}

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