A diferença das distâncias de um ponto
às diretrizes
é constante e igual a 8 .
(a) Mostre que a curva é uma hipérbole.
(b) Encontre sua equação na forma padrão.
(a) Mostre que a curva é uma hipérbole.
(b) Encontre sua equação na forma padrão.
Passo 1
O enunciado diz: a diferença das distâncias de um ponto
às duas retas (informadas como)
e
é constante e igual a
. O que nos pedem:
(a) mostrar que a curva descrita é uma hipérbole;
(b) encontrar a equação dessa curva na forma padrão.
(a) mostrar que a curva descrita é uma hipérbole;
(b) encontrar a equação dessa curva na forma padrão.
Observação importante (interpretação usada): para que a relação “diferença das distâncias” leve a uma hipérbole no sentido clássico, interpretamos que as distâncias mencionadas são distâncias de
aos dois pontos focais localizados em
e
(ou seja, as abscissas
no eixo
com
). Isso é consistente com o pedido (a) e é a interpretação usual quando se fala em “diferença das distâncias” que gera uma hipérbole. Assim, tomamos os dois pontos fixos (focos)
e a condição de locus é que a diferença das distâncias de
a esses focos tem módulo igual a
.
Passo 2
Definição e notação: seja
um ponto genérico. A distância de
ao foco
é, pela fórmula da distância no plano,
e a distância ao foco
é
A condição do enunciado (diferença constante igual a
) implica que
Para obter a equação podemos escolher uma das duas possibilidades
ou
; ambas geram a mesma equação final (são os dois ramos da hipérbole). Vamos resolver primeiro para
Passo 3
Isolando uma raiz e elevando ao quadrado (explicando a técnica): para eliminar raízes quadradas, isolamos uma e elevamos ambos os lados ao quadrado. Partimos de
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. Ao fazer isso, atenção: o quadrado de uma soma gera termo de produto que contém a raiz isolada; por isso pode ser preciso elevar ao quadrado outra vez mais adiante. Efetuando a primeira quadratura:
Expandindo o lado direito:
Passo 4
Simplificação após cancelar termos iguais: no membro esquerdo e direito há
em comum, que se anulam. Subtraindo
de ambos os lados obtém-se
Calcule o lado esquerdo explicitamente:
Logo
Passo 5
Isolando a raiz e preparando para a segunda quadratura: passe o
para o lado esquerdo e divida por
para simplificar:
Agora isolamos a raiz:
Observação sobre sinais: o lado direito deve ser não negativo porque a raiz é não negativa; isso impõe restrições no domínio (por exemplo valores de
que façam
), mas a equação algébrica resultante conterá ambos os ramos. Prosseguimos elevando ao quadrado novamente para eliminar a raiz.
Passo 6
Segunda quadratura e eliminação da raiz: elevando ambos os lados ao quadrado,
Multiplique por
para livrar-se do denominador:
Agora desenvolva ambos os lados: o lado esquerdo
o lado direito
Igualando e simplificando:
Subtraindo
dos dois lados:
Fazendo a subtração corretamente:
que dá
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Colocando na forma canônica da hipérbole: reorganize para obter uma forma padrão:
Dividindo ambos os lados por
para chegar a
no membro direito:
pois
e
.
Passo 8
Interpretação final (por que é hipérbole) e parâmetros: a equação obtida
é da forma canônica
que define uma hipérbole centrada em
com eixo transverse ao longo do eixo
. Aqui
, e os focos ficam em
com
. Calculando
:
o que confirma que os focos são
e
, consistentes com a interpretação inicial. Também note que a diferença entre distâncias aos focos é
, como dado.
Resposta
(a) É uma hipérbole.
(b)
(b)