A diferença das distâncias de um ponto P(x, y) às diretrizes
x=6 \quad \text { e } \quad x=-6
é constante e igual a 8 .
(a) Mostre que a curva é uma hipérbole.
(b) Encontre sua equação na forma padrão.

Passo 1

O enunciado diz: a diferença das distâncias de um ponto P(x,y) às duas retas (informadas como) x=6 e x=-6 é constante e igual a 8. O que nos pedem:
(a) mostrar que a curva descrita é uma hipérbole;
(b) encontrar a equação dessa curva na forma padrão.
Observação importante (interpretação usada): para que a relação “diferença das distâncias” leve a uma hipérbole no sentido clássico, interpretamos que as distâncias mencionadas são distâncias de P aos dois pontos focais localizados em (-6,0) e (6,0) (ou seja, as abscissas \pm 6 no eixo x com y=0). Isso é consistente com o pedido (a) e é a interpretação usual quando se fala em “diferença das distâncias” que gera uma hipérbole. Assim, tomamos os dois pontos fixos (focos)
F_1 = (-6,0),\qquad F_2 = (6,0),
e a condição de locus é que a diferença das distâncias de P a esses focos tem módulo igual a 8.

Passo 2

Definição e notação: seja P(x,y) um ponto genérico. A distância de P ao foco F_1=(-6,0) é, pela fórmula da distância no plano,
d_1=\sqrt{(x+6)^2+y^2},
e a distância ao foco F_2=(6,0) é
d_2=\sqrt{(x-6)^2+y^2}.
A condição do enunciado (diferença constante igual a 8) implica que
|d_2-d_1|=8.
Para obter a equação podemos escolher uma das duas possibilidades d_2-d_1=8 ou d_1-d_2=8; ambas geram a mesma equação final (são os dois ramos da hipérbole). Vamos resolver primeiro para
d_2-d_1=8.

Passo 3

Isolando uma raiz e elevando ao quadrado (explicando a técnica): para eliminar raízes quadradas, isolamos uma e elevamos ambos os lados ao quadrado. Partimos de
\sqrt{(x-6)^2+y^2}=\sqrt{(x+6)^2+y^2}+8.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado. Ao fazer isso, atenção: o quadrado de uma soma gera termo de produto que contém a raiz isolada; por isso pode ser preciso elevar ao quadrado outra vez mais adiante. Efetuando a primeira quadratura:
(x-6)^2+y^2=\bigl(\sqrt{(x+6)^2+y^2}+8\bigr)^2.
Expandindo o lado direito:
(x-6)^2+y^2=(x+6)^2+y^2+16\sqrt{(x+6)^2+y^2}+64.

Passo 4

Simplificação após cancelar termos iguais: no membro esquerdo e direito há y^2 em comum, que se anulam. Subtraindo (x+6)^2+y^2 de ambos os lados obtém-se
(x-6)^2-(x+6)^2=16\sqrt{(x+6)^2+y^2}+64.
Calcule o lado esquerdo explicitamente:
(x-6)^2-(x+6)^2=(x^2-12x+36)-(x^2+12x+36)=-24x.
Logo
-24x=16\sqrt{(x+6)^2+y^2}+64.

Passo 5

Isolando a raiz e preparando para a segunda quadratura: passe o 64 para o lado esquerdo e divida por 8 para simplificar:
-24x-64=16\sqrt{(x+6)^2+y^2}
\Rightarrow -3x-8=2\sqrt{(x+6)^2+y^2}.
Agora isolamos a raiz:
\sqrt{(x+6)^2+y^2=\;}\frac{-3x-8}{2}.
Observação sobre sinais: o lado direito deve ser não negativo porque a raiz é não negativa; isso impõe restrições no domínio (por exemplo valores de x que façam \frac{-3x-8}{2}\ge0), mas a equação algébrica resultante conterá ambos os ramos. Prosseguimos elevando ao quadrado novamente para eliminar a raiz.

Passo 6

Segunda quadratura e eliminação da raiz: elevando ambos os lados ao quadrado,
(x+6)^2+y^2=\left(\frac{-3x-8}{2}\right)^2=\frac{( -3x-8)^2}{4}.
Multiplique por 4 para livrar-se do denominador:
4(x+6)^2+4y^2=( -3x-8)^2.
Agora desenvolva ambos os lados: o lado esquerdo
4(x^2+12x+36)+4y^2=4x^2+48x+144+4y^2,
o lado direito
(-3x-8)^2=9x^2+48x+64.
Igualando e simplificando:
4x^2+48x+144+4y^2=9x^2+48x+64.
Subtraindo 4x^2+48x dos dois lados:
144+4y^2=5x^2+64-? \quad\text{(corrigindo)}.
Fazendo a subtração corretamente:
4x^2+48x+144+4y^2- (4x^2+48x) = 9x^2+48x+64-(4x^2+48x),
que dá
144+4y^2 = 5x^2+64.
Subtraindo 64 de ambos os lados:
4y^2+80=5x^2.

Passo 7

Colocando na forma canônica da hipérbole: reorganize para obter uma forma padrão:
5x^2-4y^2=80.
Dividindo ambos os lados por 80 para chegar a 1 no membro direito:
\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1,
pois \dfrac{5x^2}{80}=\dfrac{x^2}{16} e \dfrac{4y^2}{80}=\dfrac{y^2}{20}.

Passo 8

Interpretação final (por que é hipérbole) e parâmetros: a equação obtida
\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1
é da forma canônica
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
que define uma hipérbole centrada em (0,0) com eixo transverse ao longo do eixo x. Aqui \;a^2=16\Rightarrow a=4,\;\;b^2=20\Rightarrow b=\sqrt{20}, e os focos ficam em (\pm c,0) com c^2=a^2+b^2. Calculando c:
c^2=a^2+b^2=16+20=36\quad\Rightarrow\quad c=6,
o que confirma que os focos são (-6,0) e (6,0), consistentes com a interpretação inicial. Também note que a diferença entre distâncias aos focos é 2a=8, como dado.

Resposta

(a) É uma hipérbole.
(b) \displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1

Exercícios relacionados