Assinale verdadeiro ( V ) ou falso ( F ) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
(e) ( ) Se A^{k}=0 para todo k \geq 2, então A=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique. O que é dado é: "Se A^{k}=0 para todo k\ge 2, então A=0". Ou seja:
  • Informação dada: existe uma matriz A (assume-se quadrada) tal que \,A^{k}=0 para todo k\ge 2.
  • Pergunta: a conclusão “ A=0” segue necessariamente dessa hipótese? Preciso justificar com uma demonstração ou apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Estratégia didática: para mostrar que uma afirmação do tipo “se P então Q” é falsa, basta apresentar um contraexemplo — isto é, uma matriz A que satisfaça a hipótese A^{k}=0 para todo k\ge 2, mas que não seja a matriz nula ( A\neq 0). Vou construir um exemplo simples e calcular suas potências.

Passo 3

Considere a matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Vou calcular A^{2}. Usando multiplicação de matrizes:
A^{2}= \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 0 & 0\cdot 1 + 1\cdot 0\\[4pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 0 & 0\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto \,A^{2}=0.]

Passo 4

Agora argumento que, dada \,A^{2}=0, todas as potências superiores também são nulas. Uma forma simples é por indução ou multiplicação iterada:
  • Para k=2 já temos A^{2}=0.
  • Se A^{m}=0 para algum m\ge 2, então A^{m+1}=A^{m}A=0\cdot A=0.
    Logo por indução A^{k}=0 para todo k\ge 2. No nosso exemplo isso acontece.

Passo 5

Verifico que A não é a matriz nula: a entrada (1,2) de A é 1, então A\neq 0. Assim A satisfaz a hipótese \,A^{k}=0 para todo k\ge 2 e não satisfaz a conclusão A=0. Isso é um contraexemplo que torna a afirmação inicial falsa.

Passo 6

Comentário didático curto: matrizes como a escolhida são chamadas de matrizes nilpotentes (existe m tal que A^{m}=0); aqui o índice de nilpotência é 2. A existência de matrizes nilpotentes não-nulas mostra precisamente que a hipótese A^{k}=0 para k\ge 2 não implica A=0.

Resposta

(F)

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