Assinale verdadeiro ( V ) ou falso ( F ) e justifique sua escolha utilizando demonstrações ou contra-exemplos.
(e) ( ) Se
para todo
, então
.
(e) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique. O que é dado é: "Se
para todo
, então
". Ou seja:
- Informação dada: existe uma matriz
(assume-se quadrada) tal que para todo . - Pergunta: a conclusão “
” segue necessariamente dessa hipótese? Preciso justificar com uma demonstração ou apresentar um contraexemplo.
Passo 2
Estratégia didática: para mostrar que uma afirmação do tipo “se P então Q” é falsa, basta apresentar um contraexemplo — isto é, uma matriz
que satisfaça a hipótese
para todo
, mas que não seja a matriz nula (
). Vou construir um exemplo simples e calcular suas potências.
Passo 3
Considere a matriz
Vou calcular
. Usando multiplicação de matrizes:
Portanto
.]
Passo 4
Agora argumento que, dada
, todas as potências superiores também são nulas. Uma forma simples é por indução ou multiplicação iterada:
- Para
já temos . - Se
para algum , então .
Logo por induçãopara todo . No nosso exemplo isso acontece.
Passo 5
Verifico que
não é a matriz nula: a entrada
de
é
, então
. Assim
satisfaz a hipótese
para todo
e não satisfaz a conclusão
. Isso é um contraexemplo que torna a afirmação inicial falsa.
Passo 6
Comentário didático curto: matrizes como a escolhida são chamadas de matrizes nilpotentes (existe
tal que
); aqui o índice de nilpotência é
. A existência de matrizes nilpotentes não-nulas mostra precisamente que a hipótese
para
não implica
.
Resposta
(F)