Q7: Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I) Se Imagem
, então
tem solução para todo
.
II) Se para algum
o sistema
tem solução única, então Núcleo
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I) Se Imagem
II) Se para algum
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de tamanho
e pede que verifiquemos a veracidade das duas afirmações abaixo:
I) Se Imagem , então
tem solução para todo
.
II) Se para algum o sistema
tem solução única, então Núcleo
.
I) Se Imagem
II) Se para algum
Informações relevantes do enunciado:
- Temos apenas a matriz
e as propriedades exigidas nas afirmativas (Imagem e Núcleo). - Precisamos decidir se cada afirmativa é verdadeira ou falsa e, consequentemente, qual alternativa (A–D) é correta.
Passo 2
Definição (Imagem/Coluna). A Imagem de
, denotada
ou coluna de
, é o conjunto de todos os vetores
que podem ser escritos como combinação linear das colunas de
. Em fórmula:
Interpretação prática: dizer
significa que as colunas de
geram (span) todo o
. Ou seja, qualquer
é combinação linear das colunas de
.
Passo 3
Prova de I (existência de solução quando
). Se
, então por definição, para cada
existe algum
tal que
. Isso é exatamente a definição de "ter solução para todo
". Portanto a afirmativa I é verdadeira. Exemplo simples para visualização: se
(matriz identidade
), então
e para todo
a solução é
.
Passo 4
Definição (Núcleo/Nulidade). O Núcleo de
, denotado
, é o conjunto de vetores
que satisfazem
:
Interpretação prática:
indica as direções no espaço das incógnitas que são “anuladas” por
. Se
significa que somente o vetor nulo é enviado ao zero — informalmente, as colunas de
são linearmente independentes na dimensão relevante.
Passo 5
Teorema fundamental sobre soluções de
. Se
é uma solução particular de
(isto é,
), então o conjunto de todas as soluções é
Explicação: se
então
. E se
é qualquer solução, então
, logo
. Assim, as soluções são exatamente a soma de uma solução particular com o núcleo.
Passo 6
Prova de II (unicidade para algum
implica
). Suponha que existe algum
para o qual
tenha solução única; seja
essa única solução. Pelo passo anterior, todas as soluções são
com
. Para que exista apenas uma solução, a única possibilidade é que o único
seja
. Portanto
. Contraponto (intuição): se
tivesse um vetor não nulo
, então
seria outra solução distinta de
, contradizendo a unicidade. Assim a afirmativa II é verdadeira.
Passo 7
Exemplos para fixar:
- Exemplo para I:
. Aqui , e para todo existe solução (mesma ). - Exemplo para II: considere
com posto máximo (por exemplo uma matriz com posto quando ). Se , então quando está na imagem, a solução é única. A afirmação II diz a implicação inversa: se existe algum com solução única, então necessariamente ; isso já provamos acima.
Passo 8
Conclusão: ambas as afirmações I e II são verdadeiras.
Resposta
(D)