Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I) Se Imagem A=\mathbb{R}^{m}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}.
II) Se para algum \vec{b} \in \mathbb{R}^{m} o sistema A \vec{x}=\vec{b} tem solução única, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho m\times n e pede que verifiquemos a veracidade das duas afirmações abaixo:
I) Se Imagem A=\mathbb{R}^{m}, então A\vec{x}=\vec{b} tem solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
II) Se para algum \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução única, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Temos apenas a matriz A e as propriedades exigidas nas afirmativas (Imagem e Núcleo).
  • Precisamos decidir se cada afirmativa é verdadeira ou falsa e, consequentemente, qual alternativa (A–D) é correta.

Passo 2

Definição (Imagem/Coluna). A Imagem de A, denotada \operatorname{Im}A ou coluna de A, é o conjunto de todos os vetores \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} que podem ser escritos como combinação linear das colunas de A. Em fórmula:
\operatorname{Im}A=\{A\vec{x}:\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\}.
Interpretação prática: dizer \operatorname{Im}A=\mathbb{R}^{m} significa que as colunas de A geram (span) todo o \mathbb{R}^{m}. Ou seja, qualquer \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} é combinação linear das colunas de A.

Passo 3

Prova de I (existência de solução quando \operatorname{Im}A=\mathbb{R}^{m}). Se \operatorname{Im}A=\mathbb{R}^{m}, então por definição, para cada \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} existe algum \vec{x}\in\mathbb{R}^{n} tal que A\vec{x}=\vec{b}. Isso é exatamente a definição de "ter solução para todo \vec{b}". Portanto a afirmativa I é verdadeira. Exemplo simples para visualização: se A=I_m (matriz identidade m\times m), então \operatorname{Im}A=\mathbb{R}^{m} e para todo \vec{b} a solução é \vec{x}=\vec{b}.

Passo 4

Definição (Núcleo/Nulidade). O Núcleo de A, denotado \ker(A), é o conjunto de vetores \vec{v}\in\mathbb{R}^{n} que satisfazem A\vec{v}=\vec{0}:
\ker(A)=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^{n}:A\vec{v}=\vec{0}\}.
Interpretação prática: \ker(A) indica as direções no espaço das incógnitas que são “anuladas” por A. Se \ker(A)=\{\vec{0}\} significa que somente o vetor nulo é enviado ao zero — informalmente, as colunas de A são linearmente independentes na dimensão relevante.

Passo 5

Teorema fundamental sobre soluções de A\vec{x}=\vec{b}. Se x_p é uma solução particular de A\vec{x}=\vec{b} (isto é, A x_p=\vec{b}), então o conjunto de todas as soluções é
\{x_p + v : v\in\ker(A)\}.
Explicação: se v\in\ker(A) então A(x_p+v)=Ax_p + Av = \vec{b} + \vec{0}=\vec{b}. E se x é qualquer solução, então A(x-x_p)=Ax-Ax_p=\vec{0}, logo x-x_p\in\ker(A). Assim, as soluções são exatamente a soma de uma solução particular com o núcleo.

Passo 6

Prova de II (unicidade para algum \vec{b} implica \ker(A)=\{\vec{0}\}). Suponha que existe algum \vec{b} para o qual A\vec{x}=\vec{b} tenha solução única; seja x_p essa única solução. Pelo passo anterior, todas as soluções são x_p + v com v\in\ker(A). Para que exista apenas uma solução, a única possibilidade é que o único v\in\ker(A) seja v=\vec{0}. Portanto \ker(A)=\{\vec{0}\}. Contraponto (intuição): se \ker(A) tivesse um vetor não nulo v, então x_p+v seria outra solução distinta de x_p, contradizendo a unicidade. Assim a afirmativa II é verdadeira.

Passo 7

Exemplos para fixar:
  • Exemplo para I: A=I_2. Aqui \operatorname{Im}A=\mathbb{R}^2, e para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^2 existe solução (mesma \vec{b}).
  • Exemplo para II: considere A com posto máximo (por exemplo uma matriz m\times n com posto n quando n\le m). Se \ker(A)=\{\vec{0}\}, então quando \vec{b} está na imagem, a solução é única. A afirmação II diz a implicação inversa: se existe algum \vec{b} com solução única, então necessariamente \ker(A)=\{\vec{0}\}; isso já provamos acima.

Passo 8

Conclusão: ambas as afirmações I e II são verdadeiras.

Resposta

(D)

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