Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 150 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2: uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 150^\circ, e uma projeção T sobre o eixo x. Pede-se a matriz que representa a transformação composta T R (ou seja: primeiro aplica-se R e em seguida aplica-se T). As informações relevantes são:
O ângulo da rotação é \;150^\circ\; (sentido anti-horário).
A projeção T envia (x,y) em (x,0).
Queremos a matriz de T R na base canônica; entre as alternativas estão várias matrizes dadas (A) a (H).
Passo 2
Vamos lembrar qual é a matriz de uma rotação no plano. A rotação de ângulo \theta (no sentido anti-horário) tem matriz, na base canônica:
Agora a projeção T sobre o eixo x transforma (x,y) em (x,0). Podemos ver como age sobre os vetores da base: T(1,0)=(1,0) e T(0,1)=(0,0). A matriz de T na base canônica é, portanto,
Explicação rápida: a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2); como T(e_1)=(1,0) e T(e_2)=(0,0), obtemos a matriz acima.]
Passo 4
A composição T R corresponde ao produto matricial T\cdot R (aplica-se R primeiro, depois T). Uma forma prática de multiplicar é notar que multiplicar T por qualquer matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} elimina a segunda linha, porque
Mostrei também de forma direta: as colunas de T R são T(R(e_1)) e T(R(e_2)). A primeira coluna de R é R(e_1)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right); projetando sobre x fica \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},0\right). A segunda coluna de R é R(e_2)=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right); projetando fica \left(-\dfrac{1}{2},0\right). Isso gera exatamente a matriz acima.]
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, a matriz encontrada