Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 150 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2: uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 150^\circ, e uma projeção T sobre o eixo x. Pede-se a matriz que representa a transformação composta T R (ou seja: primeiro aplica-se R e em seguida aplica-se T). As informações relevantes são:
  • O ângulo da rotação é \;150^\circ\; (sentido anti-horário).
  • A projeção T envia (x,y) em (x,0).
  • Queremos a matriz de T R na base canônica; entre as alternativas estão várias matrizes dadas (A) a (H).

Passo 2

Vamos lembrar qual é a matriz de uma rotação no plano. A rotação de ângulo \theta (no sentido anti-horário) tem matriz, na base canônica:
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Aqui \theta=150^\circ. Para calcular \cos150^\circ e \sin150^\circ usamos que 150^\circ=180^\circ-30^\circ, então
\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac{1}{2}.
Substituindo na fórmula da rotação, a matriz de R é
R=\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora a projeção T sobre o eixo x transforma (x,y) em (x,0). Podemos ver como age sobre os vetores da base: T(1,0)=(1,0) e T(0,1)=(0,0). A matriz de T na base canônica é, portanto,
T=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.
Explicação rápida: a primeira coluna é T(e_1) e a segunda coluna é T(e_2); como T(e_1)=(1,0) e T(e_2)=(0,0), obtemos a matriz acima.]

Passo 4

A composição T R corresponde ao produto matricial T\cdot R (aplica-se R primeiro, depois T). Uma forma prática de multiplicar é notar que multiplicar T por qualquer matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} elimina a segunda linha, porque
\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Portanto, para T multiplicando R temos simplesmente que T R mantém a primeira linha de R e transforma a segunda linha em zeros.]

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior e os coeficientes de R do passo 2, temos
T R= \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.
Mostrei também de forma direta: as colunas de T R são T(R(e_1)) e T(R(e_2)). A primeira coluna de R é R(e_1)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right); projetando sobre x fica \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},0\right). A segunda coluna de R é R(e_2)=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right); projetando fica \left(-\dfrac{1}{2},0\right). Isso gera exatamente a matriz acima.]

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a matriz encontrada
\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 \end{pmatrix}
corresponde à alternativa (E).]

Resposta

(E) \displaystyle \begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}]

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