Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,3,0),(-1,0,-3)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(2,2,-2)\}. Se a_{11}=-18, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{23} :
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\text{Núcleo }A=\operatorname{span}\{(-3,3,0),(-1,0,-3)\},ú
\text{Imagem }A=\operatorname{span}\{(2,2,-2)\},
e também que a_{11}=-18.
A pergunta é: qual é o valor da entrada a_{23} (ou seja, elemento da 2ª linha e 3ª coluna de A)?

Passo 2

Observação sobre a forma da matriz dada a imagem ser 1‑dimensional: como \operatorname{Im}A é gerada por u=(2,2,-2), todas as colunas de A são múltiplos de u. Logo A tem posto 1 e pode ser escrita como produto de um vetor coluna por um vetor linha:
A = u\,w^{T},
onde w=(w_1,w_2,w_3) é um vetor linha (colunas de A serão w_j u). Essa é a forma geral de uma matriz de posto 1 com coluna geradora u.

Passo 3

Relação entre w e o núcleo: A v = u (w^{T}v). Assim Av=0 exatamente quando w^{T}v=0. Logo o núcleo de A é o subespaço dos vetores ortogonais a w. Como o núcleo é \operatorname{span}\{(-3,3,0),(-1,0,-3)\}, temos que w é ortogonal a ambos os vetores geradores. Escrevemos essas condições:
w\cdot(-3,3,0)=0
w\cdot(-1,0,-3)=0.
Agora resolvemos para w=(w_1,w_2,w_3).

Passo 4

Calculando os produtos escalares:
-3w_1+3w_2+0\cdot w_3=0 \quad\Rightarrow\quad -3w_1+3w_2=0 \;\Rightarrow\; w_1=w_2.
-1\cdot w_1+0\cdot w_2-3w_3=0 \quad\Rightarrow\quad -w_1-3w_3=0 \;\Rightarrow\; w_1=-3w_3.
Combinando, temos as relações
w_1=w_2,\qquad w_1=-3w_3.

Passo 5

Usamos a informação a_{11}=-18. A entrada a_{11} é a primeira componente da primeira coluna de A. Como a primeira coluna é w_1 u e u_1=2, temos
a_{11}=w_1\cdot 2.
Portanto
2w_1=-18 \quad\Rightarrow\quad w_1=-9.
Pelas relações do passo anterior segue
w_2=w_1=-9,\qquad w_3=-\frac{w_1}{3}=-\frac{-9}{3}=3.
Assim w=(-9,-9,3).

Passo 6

Agora construímos A=u\,w^{T} com u=(2,2,-2) e w=(-9,-9,3). As colunas são w_j u:
\text{col}_1 = -9\cdot(2,2,-2)=(-18,-18,18),
\text{col}_2 = -9\cdot(2,2,-2)=(-18,-18,18),
\text{col}_3 = 3\cdot(2,2,-2)=(6,6,-6).
Logo
A=\begin{pmatrix} -18 & -18 & 6\\[4pt] -18 & -18 & 6\\[4pt] 18 & 18 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 7

A entrada procurada é a_{23}, que é a componente da segunda linha e terceira coluna. Pela matriz acima:
a_{23}=6.

Resposta

(H) 6

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