Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,3,0),(-1,0,-3)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(2,2,-2)\}. Se a_{11}=-18, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{23} :
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 3
(F) 4
(G) 5
(H) 6
e também que a_{11}=-18.
A pergunta é: qual é o valor da entrada a_{23} (ou seja, elemento da 2ª linha e 3ª coluna de A)?
Passo 2
Observação sobre a forma da matriz dada a imagem ser 1‑dimensional: como \operatorname{Im}A é gerada por u=(2,2,-2), todas as colunas de A são múltiplos de u. Logo A tem posto 1 e pode ser escrita como produto de um vetor coluna por um vetor linha:
A = u\,w^{T},
onde w=(w_1,w_2,w_3) é um vetor linha (colunas de A serão w_j u). Essa é a forma geral de uma matriz de posto 1 com coluna geradora u.
Passo 3
Relação entre w e o núcleo: A v = u (w^{T}v). Assim Av=0 exatamente quando w^{T}v=0. Logo o núcleo de A é o subespaço dos vetores ortogonais a w. Como o núcleo é \operatorname{span}\{(-3,3,0),(-1,0,-3)\}, temos que w é ortogonal a ambos os vetores geradores. Escrevemos essas condições: