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Matrícula: , Data , Valor: 35 pontos,
Nota .
Observações:
  • Caso seja pego cola, será dado nota zero para as duas pessoas.
  • Caso seja observado uso de celular será dado nota zero.
  • Todas as questões devem conter os cálculos para a obtenção do resultado final, caso não haja a questão será desconsiderada
  • A resposta final preferencialmente deve ser escrita a caneta.
    (20%) 5) Calcule a Integral Iterada.
integral0^2 integral0^z^2 integral0^y-z(2 x-y) d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
integral0^2 integral0^z^2 integral0^y-z(2 x - y) , dx , dy , dz
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos trabalhar de dentro para fora, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a $ x $. A função que vamos integrar é $ 2x - y $, e os limites de $ x $ vão de 0 a $ y - z $.

Passo 3

Vamos integrar $ 2x - y $ em relação a $ x $:
2x - y
A integral de $ 2x $ em relação a $ x $ é $ x^2 $, e a integral de $ -y $ em relação a $ x $ é $ -y x $. Então:
x

Passo 4

Agora, substituímos os limites de integração:
[ (y - z)^2 - y(y - z) ] - [ 0 - 0 ] = (y - z)^2 - y(y - z)
Vamos expandir e simplificar:
(y^2 - 2yz + z^2) - (y^2 - yz) = y^2 - 2yz + z^2 - y^2 + yz = -yz + z^2

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral do meio, que é em relação a $ y $, com limites de 0 a $ z^2 $:
y
Vamos integrar termo a termo:
z^2

Passo 6

Integrando $ -yz $ em relação a $ y $:
-yz
E integrando $ z^2 $ em relação a $ y $:
y

Passo 7

Somando as duas integrais:
-z^52 + z^4 = z^4 - z^52
Agora, substituímos essa expressão na integral mais externa, que é em relação a $ z $, com limites de 0 a 2:
z

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^2 z^4 , dz = z^55 gr|0^2 = 325
e
integral0^2 z^52 , dz = 12 cdot z^66 gr|0^2 = 112 cdot 64 = 163

Passo 9

Agora, subtraímos os resultados das integrais:
325 - 163 = 96 - 8015 = 1615

Resposta

O valor da integral iterada é $ \frac{16}{15} $.

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