Assinatura:
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Matrícula:
, Data
, Valor: 35 pontos,
Nota
.
Observações:
- Caso seja pego cola, será dado nota zero para as duas pessoas.
- Caso seja observado uso de celular será dado nota zero.
- Todas as questões devem conter os cálculos para a obtenção do resultado final, caso não haja a questão será desconsiderada
- A resposta final preferencialmente deve ser escrita a caneta.
(20%) 5) Calcule a Integral Iterada.
Matrícula:
Nota
Observações:
(20%) 5) Calcule a Integral Iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos trabalhar de dentro para fora, integrando uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a $ x $. A função que vamos integrar é $ 2x - y $, e os limites de $ x $ vão de 0 a $ y - z $.
Passo 3
Vamos integrar $ 2x - y $ em relação a $ x $:
A integral de $ 2x $ em relação a $ x $ é $ x^2 $, e a integral de $ -y $ em relação a $ x $ é $ -y x $. Então:
Passo 4
Agora, substituímos os limites de integração:
Vamos expandir e simplificar:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral do meio, que é em relação a $ y $, com limites de 0 a $ z^2 $:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Integrando $ -yz $ em relação a $ y $:
E integrando $ z^2 $ em relação a $ y $:
Passo 7
Somando as duas integrais:
Agora, substituímos essa expressão na integral mais externa, que é em relação a $ z $, com limites de 0 a 2:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
e
Passo 9
Agora, subtraímos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral iterada é $ \frac{16}{15} $.