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Matrícula: , Data , Valor: 35 pontos,
Nota .
Observações:
  • Caso seja pego cola, será dado nota zero para as duas pessoas.
  • Caso seja observado uso de celular será dado nota zero.
  • Todas as questões devem conter os cálculos para a obtenção do resultado final, caso não haja a questão será desconsiderada
  • A resposta final preferencialmente deve ser escrita a caneta.
    (20%) 3) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD x^2 y d A
onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD x^2y,dA, onde D é a semidisco superior de raio 5 centrado na origem, usando coordenadas polares. O conteúdo principal é mudança de variáveis para coordenadas polares e uso do jacobiano para reescrever dA.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta (o fator r é o jacobiano). Como D é o semidisco superior, r varia de 0 a 5 e theta de 0 a pi.
Substituindo na integral: x^2y = (rcostheta)^2(rsintheta) = r^3cos^2thetasintheta, e com dA=r,dr,dtheta o integrando fica r^4cos^2thetasintheta. Portanto
integral duplaDx^2y,dA = integraltheta=0^piintegralr=0^5 r^4cos^2thetasintheta,dr,dtheta

Passo 3

Agora separamos em parte radial e angular. Primeiro
integral0^5r^4,dr = r^55|0^5 = 5^55 = 625

Passo 4

Em seguida a parte angular: usando u=costheta, du=-sintheta,dtheta,
integral0^picos^2thetasintheta,dtheta = integralu=1^-1u^2(-du) = integral-1^1u^2,du = u^33|-1^1 = 23

Passo 5

Multiplicando as duas partes, a integral total vale 625timestfrac23 = tfrac12503

Resposta

12503

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