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Matrícula: , Data , Valor: 35 pontos,
Nota .
Observações:
  • Caso seja pego cola, será dado nota zero para as duas pessoas.
  • Caso seja observado uso de celular será dado nota zero.
  • Todas as questões devem conter os cálculos para a obtenção do resultado final, caso não haja a questão será desconsiderada
  • A resposta final preferencialmente deve ser escrita a caneta.
    (20%) 1) (a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z=x y e acima do retângulo
R=(x, y) mid 0 <= x <= 6, 0 <= y <= 4
Utilize a soma de Riemann com m=3 e n=2, e tome como ponto de amostragem o canto superior direito de cada sub-retângulo.

Passo 1

O exercício pede estimar o volume do sólido sob a superfície z=xy e acima do retângulo R={(x,y) | 0≤x≤6, 0≤y≤4} usando soma de Riemann com m=3 e n=2, amostrando no canto superior direito de cada sub-retângulo. Vamos usar conteúdos de integrais duplas e soma de Riemann.

Passo 2

Para aproximar essa integral dupla usamos a soma de Riemann. A teoria diz que
integral duplaR f(x,y),dA approx sumi=1^msumj=1^n f(xi^*,yj^*),De
Aqui f(x,y)=xy e De.

Passo 3

Dividimos R em m=3 partes em x e n=2 partes em y. Logo
De
Os pontos de amostragem (cantos superiores direitos) são (xi,yj)=(2i,2j) para i=1,2,3 e j=1,2.

Passo 4

Calculamos a soma
sumi=1^3sumj=1^2 xi yj= (2cdot2+2cdot4)+(4cdot2+4cdot4)+(6cdot2+6cdot4)=12+24+36=72
Multiplicando por De resulta no volume aproximado

Resposta

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