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Matrícula: , Data , Valor: 35 pontos,
Nota .
Observações:
  • Caso seja pego cola, será dado nota zero para as duas pessoas.
  • Caso seja observado uso de celular será dado nota zero.
  • Todas as questões devem conter os cálculos para a obtenção do resultado final, caso não haja a questão será desconsiderada
  • A resposta final preferencialmente deve ser escrita a caneta.
    (20%) 4) Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1, 0) e (0,2), se a função densidade for rho(x, y)=1+3 x+y.
m=integral duplaD rho(x, y) d A barx=1m integral duplaD x rho(x, y) bary=1m integral duplaD y rho(x, y)

Passo 1

Temos uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2) cuja densidade é dada por rho(x,y)=1+3x+y. O objetivo é usar integrais duplas para calcular a massa m e as coordenadas do centro de massa barx e bary, usando as fórmulas
m=integral duplaDrho(x,y),dA, barx=1mintegral duplaD x,rho(x,y),dA, bary=1mintegral duplaD y,rho(x,y),dA,

Passo 2

A região D é o triângulo em que x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até a reta que une (1,0) a (0,2). A equação dessa reta é y=2-2x. Logo:
0<= x<=1, 0<= y<=2-2x,

Passo 3

Para calcular a massa, montamos
m=integralx=0^1integraly=0^2-2x(1+3x+y),dy,dx
Integrando em y:
integral0^2-2x(1+3x+y),dy=(1+3x)(2-2x)+(2-2x)^22=4-4x^2
Depois em x:
m=integral0^1(4-4x^2),dx=l[4x-tfrac4x^33r]0^1=4-tfrac43=tfrac83,

Passo 4

Para calcular integral duplaD x,rho(x,y),dA, fazemos
integralx=0^1integraly=0^2-2xx(1+3x+y),dy,dx
Integrando em y obtém-se 4x-4x^3, e em seguida
integral0^1(4x-4x^3),dx=l[2x^2-x^4r]0^1=2-1=1
Logo
barx=1mintegral duplaD x,rho,dA=18/3cdot1=38,

Passo 5

De modo análogo, para integral duplaD y,rho(x,y),dA calculamos
integralx=0^1integraly=0^2-2xy(1+3x+y),dy,dx,
que após integrar em y e em x 11/6. Assim
bary=1mintegral duplaD y,rho,dA=18/3cdot116=1116

Resposta

A massa é m=tfrac83 e o centro de massa fica em l(barx,baryr)=l(tfrac38,tfrac1116r).

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