Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
b) integral0^16 1raiz[4]x^3 d x

Passo 1

O exercício pede para verificar a convergência da integral imprópria integral0^16 1raiz[4]x^3,dx. Este conteúdo envolve integrais impróprias de primeira espécie e cálculo de primitivas de funções potenciais.

Passo 2

Observamos que em x=0 o integrando 1x^3/4 tende a infinito, então reescrevemos a integral como limite de integração evitanto o ponto singular: limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^16 x^-3/4,dx.
Calculamos a antiderivada de x^-3/4. Para uma potência x^p, vale integral x^p,dx=x^p+1p+1 (desde que pneq -1). Aqui p=-tfrac34, logo p+1=tfrac14 e a primitiva é 4x^1/4.

Passo 3

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo para integrais impróprias e avaliamos o limite, obtendo limvarepsilonto0^+[4x^1/4]varepsilon^16=4cdot16^1/4-4cdot0=8.
Como o limite existe e é finito, concluímos que a integral converge e seu valor é 8.

Resposta

Convergente, igual a 8.

Exercícios relacionados