Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
b)
b)
Passo 1
O exercício pede para verificar a convergência da integral imprópria
. Este conteúdo envolve integrais impróprias de primeira espécie e cálculo de primitivas de funções potenciais.
Passo 2
Observamos que em
o integrando
tende a infinito, então reescrevemos a integral como limite de integração evitanto o ponto singular:
.
Calculamos a antiderivada de . Para uma potência
, vale
(desde que
). Aqui
, logo
e a primitiva é
.
Calculamos a antiderivada de
Passo 3
Aplicamos o teorema fundamental do cálculo para integrais impróprias e avaliamos o limite, obtendo
.
Como o limite existe e é finito, concluímos que a integral converge e seu valor é .
Como o limite existe e é finito, concluímos que a integral converge e seu valor é
Resposta
Convergente, igual a
.