Encontre a série de Maclaurin de usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede para achar a expansão em série de Maclaurin de e o raio de convergência. Vamos usar a definição de Maclaurin, ou seja, expandir em torno de por meio das derivadas de avaliadas em 0.
Passo 2
A definição de série de Maclaurin diz que
Então nosso próximo passo é encontrar uma expressão geral para e avaliá-la em .
Passo 3
Começamos calculando algumas derivadas para perceber o padrão:
e assim por diante. Por indução, fica claro que
Passo 4
Avaliando em obtemos
Logo o coeficiente da série é
Passo 5
Substituindo na fórmula da série, chega-se a
Passo 6
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão aos coeficientes :
Isso implica que a série converge para |x|<1, ou seja, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de Maclaurin é f(x)=sumn=0^infty(n+1)x^n e o raio de convergência é R=1.