Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=(1-x)^-2

Passo 1

O enunciado pede para achar a expansão em série de Maclaurin de f(x)=(1-x)^-2 e o raio de convergência. Vamos usar a definição de Maclaurin, ou seja, expandir em torno de x=0 por meio das derivadas de f avaliadas em 0.

Passo 2

A definição de série de Maclaurin diz que
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
Então nosso próximo passo é encontrar uma expressão geral para f^(n)(x) e avaliá-la em x=0.

Passo 3

Começamos calculando algumas derivadas para perceber o padrão:
f(x)=(1-x)^-2,
f'(x)=2,(1-x)^-3,
f''(x)=2cdot3,(1-x)^-4,
f'''(x)=2cdot3cdot4,(1-x)^-5,
e assim por diante. Por indução, fica claro que
f^(n)(x)=(n+1)!,(1-x)^-n-2

Passo 4

Avaliando em x=0 obtemos
f^(n)(0)=(n+1)!cdot1^-(n+2)=(n+1)!
Logo o coeficiente da série é
an=f^(n)(0)n!=(n+1)!n!=n+1

Passo 5

Substituindo na fórmula da série, chega-se a
f(x)=sumn=0^infty(n+1)x^n

Passo 6

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão aos coeficientes an=n+1:
limntoinfty|an+1an|=limntoinftyn+2n+1=1
Isso implica que a série converge para |x|<1, ou seja, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Maclaurin é f(x)=sumn=0^infty(n+1)x^n e o raio de convergência é R=1.

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