Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
f) integral-5^-3 xraizx^2-9 d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral imprópria
Conteúdo: integrais impróprias e derivadas de funções com raiz. Vamos precisar reconhecer que a função
f(x)=xraizx^2-9
é singular em x=−3, então escrevemos a integral como limite e depois achamos uma primitiva.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite para tratar a singularidade em x=−3:
integral-5^-3xraizx^2-9,dx=limtto(-3)^-integral-5^txraizx^2-9,dx

Passo 3

Para calcular a integral interna, identificamos que se escolhermos como primitiva
F(x)=raizx^2-9
então
F'(x)=12raizx^2-9cdot2x=xraizx^2-9
o que bate com o integrando.

Passo 4

Agora substituímos nos limites e tiramos o limite:
integral-5^txraizx^2-9,dx=F(t)-F(-5)=raizt^2-9-raiz(-5)^2-9=raizt^2-9-4
Tomando t→(−3)^− temos sqrt(t^2−9)→0, logo o valor da integral é
0-4=-4

Passo 5

Concluímos que a integral imprópria convergente e vale -4.

Resposta

A integral converge e seu valor é -4.

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