Assinatura: ,
Matrícula: , Data , Valor: 35 pontos,
Nota .
Observações:
  • Caso seja pego cola, será dado nota zero para as duas pessoas.
  • Caso seja observado uso de celular será dado nota zero.
  • Todas as questões devem conter os cálculos para a obtenção do resultado final, caso não haja a questão será desconsiderada
  • A resposta final preferencialmente deve ser escrita a caneta.
    (20%) 2) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z=3 y^2-x^2+2 e acima do retângulo R=[-1,1] times[-2,2].

Passo 1

O exercício pede para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo paraboloide hiperbólico z = 3y^2 - x^2 + 2 e cuja projeção no plano xy é o retângulo R = [-1,1]times[-2,2]. O conteúdo é cálculo de integrais duplas para volume de sólidos e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever uma integral iterada.

Passo 2

Para obter o volume usamos a fórmula de volume sob uma superfície z = f(x,y) sobre uma região R:
V = integral duplaR f(x,y),dA = integralx=-1^1 integraly=-2^2 l(3y^2 - x^2 + 2r),dy,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y. Separamos os termos:
integral-2^2 3y^2,dy = 3[y^33]-2^2 = [y^3]-2^2 = 8 - (-8) = 16,
integral-2^2 (-x^2),dy = -x^2,[y]-2^2 = -x^2cdot4 = -4x^2,
integral-2^2 2,dy = 2,[y]-2^2 = 2cdot4 = 8
Somando, a integral em y 16 - 4x^2 + 8 = 24 - 4x^2.

Passo 4

Agora integramos esse resultado em x:
integral-1^1 (24 - 4x^2),dx = 24integral-1^1dx , -4integral-1^1x^2,dx = 24cdot2 , -4cdot23 = 48 - 83 = 1363

Resposta

136/3

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