Exercício 2. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a Transformada de Laplace de $ t^{n} $ é igual a $ \frac{n!}{s^{n+1}} $. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais e transformar funções no tempo $ t $ para o domínio de frequência $ s $. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da Transformada de Laplace e usar propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = t^{n} $, então a Transformada de Laplace de $ t^{n} $ será:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa integral. Uma maneira de fazer isso é usar a definição do fatorial e integrar termo a termo. Sabemos que:
Comparando com a nossa integral, fazemos uma substituição para facilitar. Vamos definir $ u = st $, o que implica que $ t = \frac{u}{s} $ e $ dt = \frac{du}{s} $. Substituindo na integral:
Passo 4
Simplificando a expressão, tiramos as constantes para fora da integral:
Mas lembramos que $ \int_{0}^{\infty} e^{-u} u^{n} , du = n! $. Substituindo isso na equação:
Resposta
Portanto, mostramos que: