Exercício 2. Mostre que mathscrL[t^n]=n!s^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a Transformada de Laplace de $ t^{n} $ é igual a $ \frac{n!}{s^{n+1}} $. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais e transformar funções no tempo $ t $ para o domínio de frequência $ s $. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da Transformada de Laplace e usar propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = t^{n} $, então a Transformada de Laplace de $ t^{n} $ será:
mathscrLf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa integral. Uma maneira de fazer isso é usar a definição do fatorial e integrar termo a termo. Sabemos que:
n! = integral0^infty e^-u u^n , du
Comparando com a nossa integral, fazemos uma substituição para facilitar. Vamos definir $ u = st $, o que implica que $ t = \frac{u}{s} $ e $ dt = \frac{du}{s} $. Substituindo na integral:
u = st

Passo 4

Simplificando a expressão, tiramos as constantes para fora da integral:
mathscrLt^n = 1s^n+1 integral0^infty e^-u u^n , du
Mas lembramos que $ \int_{0}^{\infty} e^{-u} u^{n} , du = n! $. Substituindo isso na equação:
integral0^infty e^-u u^n , du = n!

Resposta

Portanto, mostramos que:
mathscrL[t^n] = n!s^n+1

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