Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=2 x^4-3 x^2+3

Passo 1

Temos a função f(x)=2x4−3x2+3 e queremos sua série de Maclaurin, ou seja, a expansão em potências de x centrada em zero usando a definição f(x)=∑_{n=0}^∞ f{(n)}(0)/n!·xn. O conteúdo é série de potências e vamos precisar calcular derivadas de f em 0.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f e avaliá-las em x=0. Começando por f(x):
f(x)=2x^4-3x^2+3
Derivando sucessivamente e avaliando em zero:
f'(x)=8x^3-6x,
f'(0)=0,
f''(x)=24x^2-6,
f''(0)=-6,
f^(3)(x)=48x,
f^(3)(0)=0,
f^(4)(x)=48,
f^(4)(0)=48,
As derivadas de ordem n>4 são zero em x=0.

Passo 3

Agora obtemos os coeficientes da série usando a fórmula a_n = f^{(n)}(0)/n!. Os únicos termos não nulos são:
a0=f(0)0!=31=3,
a2=f''(0)2!=-62= -3,
a4=f^(4)(0)4!=4824=2

Passo 4

Montamos então a série de Maclaurin juntando só os termos não nulos:
f(x)=3-3x^2+2x^4

Passo 5

Como f é polinômio, sua série de potências converge para todo x∈ℝ, ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x) é f(x)=3−3x2+2x4 e o raio de convergência é R=∞.

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