Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Temos a função f(x)=2x4−3x2+3 e queremos sua série de Maclaurin, ou seja, a expansão em potências de x centrada em zero usando a definição f(x)=∑_{n=0}^∞ f{(n)}(0)/n!·xn. O conteúdo é série de potências e vamos precisar calcular derivadas de f em 0.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de f e avaliá-las em x=0. Começando por f(x):
Derivando sucessivamente e avaliando em zero:
As derivadas de ordem n>4 são zero em x=0.
Passo 3
Agora obtemos os coeficientes da série usando a fórmula a_n = f^{(n)}(0)/n!. Os únicos termos não nulos são:
Passo 4
Montamos então a série de Maclaurin juntando só os termos não nulos:
Passo 5
Como f é polinômio, sua série de potências converge para todo x∈ℝ, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin de f(x) é f(x)=3−3x2+2x4 e o raio de convergência é R=∞.