(Assíntotas) Ache as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da função definida por
f(x)=1x-2.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas e o esboço do gráfico da função racional
f(x)=1x-2
O conteúdo principal é análise de assíntotas verticais e horizontais e comportamento de função racional simples.

Passo 2

Determinar o domínio e a assíntota vertical.
O denominador x-2 anula-se em x=2, portanto
domínio = Rsetminus2 í
e em x=2 a função tende a pminfty, caracterizando uma assíntota vertical:
x=2

Passo 3

Encontrar a assíntota horizontal.
Para xtopminfty, temos
limxtopminfty 1x-2 = 0,
logo a assíntota horizontal é
y=0

Passo 4

Analisar comportamento em cada ramo.
  • Sinal: se x<2, então x-2<0 e f(x)<0; se x>2, então f(x)>0.
  • Monotonicidade:
    f'(x) = -1(x-2)^2<0 em cada intervalo, logo cada ramo é estritamente decrescente.
  • Limites laterais:
limxto2^-f(x)=-infty, limxto2^+f(x)=+infty,
limxto-inftyf(x)=0^-, limxto+inftyf(x)=0^+
  • Intercepto com eixo y:
f(0)=10-2=-tfrac12

Passo 5

Esboço do gráfico.
Descrevendo: há dois ramos hiperbólicos deslocados 2 unidades à direita de y=tfrac1x.
  • No ramo x<2: parte negativa, aproxima-se de y=0 à esquerda e cai para -infty ao se aproximar de x=2^-.
  • No ramo x>2: parte positiva, desce de +infty em x=2^+ e aproxima-se de y=0 à medida que xto+infty.
    As assíntotas são as retas x=2 e y=0.

Resposta

Assíntota vertical: x=2.
Assíntota horizontal: y=0.
O gráfico é uma hipérbole com dois ramos decrescentes, um em (-infty,2) abaixo do eixo x e outro em (2,infty) acima do eixo x, aproximando-se das retas x=2 e y=0.

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