(Cálculo de limite pela definição) Prove que o limite é o número indicado.
lim x 3(x^2-x+1)=7

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição de limite (ε–δ), que
limxto 3l(x^2-x+1r)=7
Aqui o conteúdo é a definição precisa de limite: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<de<a, valha
l|f(x)-Lr|<varepsilon,
com f(x)=x^2-x+1 e L=7.

Passo 2

Vamos escrever a diferença f(x)-7 de forma factorizada:
l|f(x)-7r| =l|x^2-x+1-7r| =l|x^2-x-6r| =l|(x-3)(x+2)r| =l|x-3r|;l|x+2r|

Passo 3

Precisamos controlar l|x+2r| por uma constante quando x estiver perto de 3. Se exigirmos
|x-3|<1,
então 2<x<4 e daí
|x+2|<= 4+2=6
Logo, sempre que |x-3|<1, vale
l|f(x)-7r|<= 6,|x-3|

Passo 4

Dado varepsilon>0, escolha
de<a=minl(1,tfracvarepsilon6r)
Então, se 0<|x-3|<de<a, temos simultaneamente |x-3|<1 e |x-3|<varepsilon/6. Portanto
l|f(x)-7r|<= 6,|x-3|<6cdottfracvarepsilon6=varepsilon
Isto mostra, pela definição, que limxto3f(x)=7.

Resposta

limx 3l(x^2-x+1r)=7

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