(Cálculo de limite pela definição) Prove que o limite é o número indicado.
Passo 1
O enunciado pede para provar, pela definição de limite (ε–δ), que
Aqui o conteúdo é a definição precisa de limite: para todo
existe
tal que, sempre que
, valha
com
f(x)=x^2-x+1 e
L=7 .
Passo 2
Vamos escrever a diferença
f(x)-7 de forma factorizada:
Passo 3
Precisamos controlar
l|x+2r| por uma constante quando
x estiver perto de 3. Se exigirmos
então
2<x<4 e daí
Logo, sempre que
|x-3|<1 , vale
Passo 4
Dado
varepsilon>0 , escolha
Então, se
0<|x-3|<de<a , temos simultaneamente
|x-3|<1 e
|x-3|<varepsilon/6 . Portanto
Isto mostra, pela definição, que
limxto3f(x)=7 .