1. Seja f: R R uma função derivável que possui um único ponto crítico p in R. Mostre que se p é ponto de máximo local de f, então p é ponto de máximo global de f.

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoR é derivável e tem exatamente um ponto crítico p, isto é, f'(p)=0 e f'(x)neq0 sempre que xneq p. Sabemos também que p é ponto de máximo local, ou seja, existe de<a>0 tal que, para todo xin(p-de<a,p+de<a), vale
f(x)<= f(p)
Queremos mostrar que, na verdade, vale
f(x)<= f(p)para todo xinR,
isto é, p é ponto de máximo global.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista c>p com
f(c)>f(p)
Defina a função auxiliar
g(x)=f(x)-f(p)
Então g(p)=0 e g(c)>0. Além disso, pela maximalidade local de p, temos g(x)<=0 para todo xin(p,p+de<a). Como g é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tinl(p+de<a,;cr] tal que g(t)=0,
isto é, f(t)=f(p).

Passo 3

Observe que em (p,p+de<a) temos g(x)<=0=g(t), e em (t,c] temos g(x)>0=g(t). Logo g atinge em t um mínimo local. Mas um mínimo local implica
g'(t)=0,
ou seja,
f'(t)=0
Isso contradiz o fato de p ser o único ponto crítico. Portanto não pode existir c>p com f(c)>f(p). Concluímos que
f(x)<= f(p)forall,x>p

Passo 4

O mesmo argumento vale para x<p: se existisse c<p com f(c)>f(p), definiríamos novamente g(x)=f(x)-f(p) e acharíamos um segundo ponto crítico em (c,p-de<a], o que é impossível. Logo
f(x)<= f(p)forall,x<p

Resposta

Como não há x nem à direita nem à esquerda de p com f(x)>f(p), segue que
f(x)<= f(p)para todo xinR,
isto é, p é ponto de máximo global de f.

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