- Seja
uma função derivável que possui um único ponto crítico
. Mostre que se
é ponto de máximo local de
, então
é ponto de máximo global de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é derivável e tem exatamente um ponto crítico
, isto é,
e
sempre que
. Sabemos também que
é ponto de máximo local, ou seja, existe
tal que, para todo
, vale
Queremos mostrar que, na verdade, vale
isto é,
é ponto de máximo global.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista
com
Defina a função auxiliar
Então
e
. Além disso, pela maximalidade local de
, temos
para todo
. Como
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
isto é,
.
Passo 3
Observe que em
temos
, e em
temos
. Logo
atinge em
um mínimo local. Mas um mínimo local implica
ou seja,
Isso contradiz o fato de
ser o único ponto crítico. Portanto não pode existir
com
. Concluímos que
Passo 4
O mesmo argumento vale para
: se existisse
com
, definiríamos novamente
e acharíamos um segundo ponto crítico em
, o que é impossível. Logo
Resposta
Como não há
nem à direita nem à esquerda de
com
, segue que
isto é,
é ponto de máximo global de
.