Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
2 y^prime prime+y^prime-y=1-2 e^t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
2y'' + y' - y = 1 - 2e^t
O conteúdo aqui é método de solução de EDOs lineares com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
2y'' + y' - y = 0
Escrevemos o polinômio característico
2r^2 + r - 1 = 0
e resolvemos por fórmula de Bhaskara:
r = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Logo r1 = tfrac12 e r2 = -1, e a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t

Passo 3

Para uma solução particular yp ao termo 1 - 2e^t usamos coeficientes a determinar e tentamos
yp(t) = A + B e^t
Calculamos
yp' = B e^t, yp'' = B e^t
e substituímos em 2y'' + y' - y:
2(B e^t) + (B e^t) - l(A + B e^tr) = (2B + B - B)e^t - A = 2B e^t - A
Esse resultado deve ser igual a 1 - 2e^t. Comparando coeficientes em e^t e constantes:
- A = 1 ;Longrightarrow; A = -1, 2B = -2 ;Longrightarrow; B = -1
Assim
yp(t) = -1 - e^t

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t ;-;1 ;-; e^t

Resposta

y(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t - 1 - e^t

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