(Assíntotas) Chamamos as retas x=h e y=k de assíntotas da hipérbole de equação (x-h)(y-k)=c, com c neq 0. Esboce o gráfico das seguintes hipérboles e inclua, no mesmo desenho, suas assíntotas.
(x+2)(y-1)=4

Passo 1

Estamos lidando com a hipérbole dada por (x+2)(y-1)=4. O conteúdo aqui é o estudo de hipérboles do tipo (x-h)(y-k)=c, cujas assíntotas são as retas x=h e y=k. Para resolver, vamos reescrever a equação na forma canônica e identificar centro, assíntotas e a região onde ficam os ramos.

Passo 2

Definimos as novas variáveis u=x+2 e v=y-1. A equação fica u,v=4. Isso mostra que o centro da hipérbole (onde as assíntotas se cruzam) é o ponto (-2,1). As assíntotas correspondem a u=0 e v=0, ou seja, x+2=0 e y-1=0, isto é, as retas x=-2 e y=1.

Passo 3

Como o produto u,v=4 é positivo, os ramos da hipérbole ficam nas regiões onde u>0,v>0 e u<0,v<0. Em termos de x e y, isso significa: uma ramificação em x>-2, y>1 e outra em x<-2, y<1.

Passo 4

Para esboçar, escolhemos pontos em cada ramo. No primeiro ramo ( u>0,v>0), tomamos x=0 para achar u=2, daí v=4/2=2, logo y=v+1=3. Ponto (0,3). No segundo ramo ( u<0,v<0), escolhemos y=0 para achar v=-1, daí u=4/(-1)=-4, logo x=u-2=-6. Ponto (-6,0).

Passo 5

No esboço final, desenhamos os eixos x e y, traçamos as assíntotas (linhas tracejadas em x=-2 e y=1) e desenhamos dois ramos suavemente curvados, um passando por (0,3) e aproximando-se das assíntotas em x=-2, y=1 no quadrante superior direito, e outro passando por (-6,0) aproximando-se das mesmas retas no quadrante inferior esquerdo.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com centro em (-2,1), assíntotas x=-2 e y=1; possui um ramo em x>-2, y>1 (passando por (0,3)) e outro em x<-2, y<1 (passando por (-6,0)), aproximando-se das retas assíntotas.

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