(Assíntotas) Chamamos as retas
e
de assíntotas da hipérbole de equação
, com
. Esboce o gráfico das seguintes hipérboles e inclua, no mesmo desenho, suas assíntotas.
Passo 1
Estamos lidando com a hipérbole dada por
. O conteúdo aqui é o estudo de hipérboles do tipo
, cujas assíntotas são as retas
e
. Para resolver, vamos reescrever a equação na forma canônica e identificar centro, assíntotas e a região onde ficam os ramos.
Passo 2
Definimos as novas variáveis
e
. A equação fica
. Isso mostra que o centro da hipérbole (onde as assíntotas se cruzam) é o ponto
. As assíntotas correspondem a
e
, ou seja,
e
, isto é, as retas
e
.
Passo 3
Como o produto
é positivo, os ramos da hipérbole ficam nas regiões onde
e
. Em termos de
e
, isso significa: uma ramificação em
e outra em
.
Passo 4
Para esboçar, escolhemos pontos em cada ramo. No primeiro ramo (
), tomamos
para achar
, daí
, logo
. Ponto
. No segundo ramo (
), escolhemos
para achar
, daí
, logo
. Ponto
.
Passo 5
No esboço final, desenhamos os eixos
e
, traçamos as assíntotas (linhas tracejadas em
e
) e desenhamos dois ramos suavemente curvados, um passando por
e aproximando-se das assíntotas em
no quadrante superior direito, e outro passando por
aproximando-se das mesmas retas no quadrante inferior esquerdo.
Resposta
O gráfico é uma hipérbole com centro em (-2,1), assíntotas
e
; possui um ramo em
(passando por (0,3)) e outro em
(passando por (-6,0)), aproximando-se das retas assíntotas.