Use as definições das funções trigonométricas e hiperbólicas complexas para verificar as expressões abaixo.
sen(j z)=j senh z

Passo 1

O enunciado pede para verificar que sin(jz)=jsinh z usando as definições de funções trigonométricas e hiperbólicas em termos de exponenciais. Vamos aplicar as fórmulas padrão de sin w e sinh z para números complexos.

Passo 2

Para qualquer número complexo w, a função seno é definida por:
sin w = e^i w - e^-i w2i
e a função seno hiperbólico é definida por:
sinh z = e^z - e^-z2

Passo 3

Substituindo w=jz na definição de sin w, obtemos:
sin(jz) = e^i,(jz) - e^-i,(jz)2i
Como em engenharia j=i, temos i,j = i^2 = -1. Logo:
e^i,(jz) = e^-z, e^-i,(jz) = e^z
Assim:
sin(jz) = e^-z - e^z2i = -e^z - e^-z2i

Passo 4

Reconhecendo que e^z-e^-z=2sinh z, a expressão vira:
sin(jz) = -2sinh z2i = -1isinh z
E como -1/i = i, segue-se:
sin(jz) = isinh z,
o que em notação de engenharia é jsinh z.

Resposta

sin(jz)=jsinh z

Exercícios relacionados