Resolva as equações homogêneas que encontrar na lista abaixo. Para isto, faça a mudança v=y / x e note que y^prime=v^prime x+v. (Se não for homogênea, não resolva).
x{2}+y{2}-2 x y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação x^2 + y^2 - 2x,y' = 0 pelo método de equações homogêneas de 1ª ordem, usando a mudança v=y/x e a relação y'=v + x,dv/dx.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial: multiplica ambos os lados por dx e isolamos em M(x,y),dx + N(x,y),dy=0:
(x^2 + y^2),dx - 2x,dy = 0
Aqui M=x^2+y^2 é homogênea de grau 2 e N=-2x é homogênea de grau 1.

Passo 3

Como em equações homogêneas é preciso que M e N sejam homogêneas do mesmo grau, concluímos que essa condição não se satisfaz. Se tentássemos usar v=y/x e escrever y'=v + x,dv/dx, permaneceria dependência explícita de x.

Passo 4

Portanto não é possível aplicar o método de equações homogêneas a esta equação, pois ela não é homogênea.

Resposta

A equação não é homogênea ( M e N têm graus diferentes), logo não há como resolvê-la pelo método indicado.

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