Determine se a função dada é solução da equação sugerida.
sen y+x y-x^3=2 e

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão fornecida para a segunda derivada y'' é de fato a derivada implícita de y definida por sin y + x,y - x^3 = 2O conteúdo envolvido é derivação implícita, primeiro para achar y' e depois para y''.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x na equação sin y + x,y - x^3 = 2,obtém-se:
$$\cos y,y

Passo 3

y + x,y’ - 3x^2 = 0.$$

Passo 4

Agrupando y':
y'(cos y + x) = 3x^2 - y,logo
y' = 3x^2 - ycos y + x

Passo 5

Para achar y'', usamos a fórmula do quociente com
A = 3x^2 - y, B = cos y + xTemos
A' = 6x - y', B' = -sin y,y' + 1,de modo que
y'' = A'B - A B'B^2

Passo 6

Substituindo
$$A’B - A B’
= (6x - y’)(x + \cos y) - (3x^2 - y)(1 - \sin y,y’),$$expandindo e lembrando que ((x+\cos y)y’ = 3x^2 - y,] chegamos a
A'B - A B' = (6x - y')(x + cos y) - (3x^2 - y)(1 - sin y,y'),Portanto
N = 6xcos y + 2y + (3x^2 - y)sin y,y'

Passo 7

A expressão dada no enunciado é
y'' = 6x,y' + (y')^3sin y - 2(y')^23x^2 - y,e claramente não coincide com o resultado acima.

Resposta

Não, a expressão fornecida para y'' não corresponde à derivada correta obtida pela diferenciação implícita.

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