Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto segue uma distribuição normal. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria tal produto da linha de produção se o consumo médio per capita fosse inferior a 10 kg . Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Nesse sentido foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se aleatoriamente uma amostra de 28 indivíduos, e verificou-se um consumo mensal médio per capita de 9,2 kg com variância de 2 kg^2. Considerando essas informações e utilizando um nível de significância de 1 %, qual seria a sua conclusão a respeito da retirada pela firma deste produto da sua linha de produção?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um problema de estatística onde uma empresa quer decidir se continua ou não fabricando um produto. Eles descobriram que se o consumo médio por pessoa for menor que 10 kg por mês, eles param de produzir. Para isso, pegaram uma amostra de 28 pessoas e acharam que, em média, cada uma consome 9,2 kg, com uma variância de 2 kg². A gente vai usar o teste de hipótese para ver se, com 99% de confiança, essa média é realmente menor que 10 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A gente quer saber se a média de consumo é menor que 10 kg.
  • Hipótese Nula (H₀): A média de consumo é igual a 10 kg. Matemáticamente, H₀: μ = 10.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média de consumo é menor que 10 kg. Matemáticamente, H₁: μ < 10.

Passo 3

Como temos uma amostra pequena (n = 28) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para a estatística t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (9,2 kg),
  • mu0 é a média hipotética (10 kg),
  • s é o desvio padrão da amostra (a raiz quadrada da variância, então s = raiz2 approx 1,414 kg),
  • n é o tamanho da amostra (28).

Passo 4

Vamos calcular o valor de t com os números que temos:
t = 9,2 - 101,414 / raiz28 approx -0,81,414 / 5,2915 approx -0,80,267 approx -2,996

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para um teste unilateral à esquerda com nível de significância de 1% e 27 graus de liberdade (n - 1 = 28 - 1).
Consultando a tabela t de Student, o valor crítico para t<sub>0,01</sub> com 27 graus de liberdade é aproximadamente -2,473.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t (-2,996) com o valor crítico (-2,473):
  • Se t calculado < t crítico, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se t calculado ≥ t crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, -2,996 < -2,473, então rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste estatístico, a empresa deve retirar o produto da linha de produção.

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