Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto segue uma distribuição normal. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria tal produto da linha de produção se o consumo médio per capita fosse inferior a 10 kg . Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Nesse sentido foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se aleatoriamente uma amostra de 28 indivíduos, e verificou-se um consumo mensal médio per capita de
com variância de
. Considerando essas informações e utilizando um nível de significância de
, qual seria a sua conclusão a respeito da retirada pela firma deste produto da sua linha de produção?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um problema de estatística onde uma empresa quer decidir se continua ou não fabricando um produto. Eles descobriram que se o consumo médio por pessoa for menor que 10 kg por mês, eles param de produzir. Para isso, pegaram uma amostra de 28 pessoas e acharam que, em média, cada uma consome 9,2 kg, com uma variância de 2 kg². A gente vai usar o teste de hipótese para ver se, com 99% de confiança, essa média é realmente menor que 10 kg.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A gente quer saber se a média de consumo é menor que 10 kg.
- Hipótese Nula (H₀): A média de consumo é igual a 10 kg. Matemáticamente, H₀: μ = 10.
- Hipótese Alternativa (H₁): A média de consumo é menor que 10 kg. Matemáticamente, H₁: μ < 10.
Passo 3
Como temos uma amostra pequena (n = 28) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para a estatística t é:
Onde:
-
é a média da amostra (9,2 kg), -
é a média hipotética (10 kg), -
é o desvio padrão da amostra (a raiz quadrada da variância, então kg), -
é o tamanho da amostra (28).
Passo 4
Vamos calcular o valor de t com os números que temos:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para um teste unilateral à esquerda com nível de significância de 1% e 27 graus de liberdade (n - 1 = 28 - 1).
Consultando a tabela t de Student, o valor crítico para t<sub>0,01</sub> com 27 graus de liberdade é aproximadamente -2,473.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t (-2,996) com o valor crítico (-2,473):
- Se t calculado < t crítico, rejeitamos a hipótese nula.
- Se t calculado ≥ t crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, -2,996 < -2,473, então rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste estatístico, a empresa deve retirar o produto da linha de produção.