Associe as colunas:
(A) y=(x-2)^2-1
(B) y=(x+2)^2-1
( ) y=-2 x+1
( ) y=2 x-1
© A função y=f(x) possui coeficiente angular a=-2 e linear b=1.
(D) A função y=f(x) possui as raízes x=-1 e x=1.
(E) Dadas f(x)=5 x e (f circ g)(x)=10 x-5 então y=g(x) é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para associar algumas expressões matemáticas com suas descrições correspondentes. Isso envolve conhecimentos de funções quadráticas, funções lineares e composição de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Funções quadráticas: Expressões do tipo y = (x - h)^2 + k, onde (h, k) é o vértice da parábola.
  • Funções lineares: Funções do tipo y = ax + b, onde a é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear (intercepto).
  • Composição de funções: Combinação de duas funções onde uma função é aplicada sobre o resultado da outra, representada por (f circ g)(x) = f(g(x)).
Vamos olhar cada item e descobrir como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as opções (A) e (B):
  • (A) y = (x - 2)^2 - 1: Essa é uma função quadrática com vértice em (2, -1). Isso significa que a parábola está deslocada 2 unidades para a direita e 1 unidade para baixo em relação à parábola básica y = x^2.
  • (B) y = (x + 2)^2 - 1: Outra função quadrática, mas com vértice em (-2, -1). Aqui, a parábola está 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo.
Agora, vamos ver as funções lineares disponíveis para associação:
  • y = -2x + 1: Função linear com coeficiente angular a = -2 e coeficiente linear b = 1.
  • y = 2x - 1: Função linear com coeficiente angular a = 2 e coeficiente linear b = -1.
Vamos associar essas funções com as descrições dadas.

Passo 3

Vamos associar a opção ©:
  • © A função y = f(x) possui coeficiente angular a = -2 e linear b = 1: Isso descreve diretamente a função linear y = -2x + 1.
Agora, a opção (D):
  • (D) A função y = f(x) possui as raízes x = -1 e x = 1: Raízes são os valores de x onde y = 0. Vamos encontrar uma função cujo gráfico cruza o eixo x nesses pontos. A função que atende a essa condição é uma função quadrática com forma y = (x - a)(x - b), onde a e b são as raízes. Portanto, seria y = (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1.
Por fim, a opção (E):
  • (E) Dadas f(x) = 5x e (f circ g)(x) = 10x - 5, então y = g(x) é: Queremos encontrar a função g(x) que, ao ser composta com f(x), resulta em 10x - 5. Sabemos que (f circ g)(x) = f(g(x)) = 5g(x) = 10x - 5. Resolvendo para g(x): 5g(x) = 10x - 5 g(x) = 10x - 55 = 2x - 1.

Passo 4

Agora, vamos resumir todas as associações:
  • (A) y = (x - 2)^2 - 1: Não corresponde diretamente a nenhuma das funções lineares ou descrições dadas, então permanece associada a algo que não foi listado.
  • (B) y = (x + 2)^2 - 1: Similar à opção (A), não corresponde diretamente às funções lineares ou descrições dadas.
  • © y = -2x + 1: Já associamos essa com a descrição ©.
  • (D) y = x^2 - 1: Essa função quadrática tem raízes em x = -1 e x = 1, ou seja, corresponde à descrição (D).
  • (E) y = 2x - 1: Encontramos que g(x) = 2x - 1 corresponde à descrição (E).

Resposta

A associação correta é:
  • (A) não tem correspondência direta nas opções listadas.
  • (B) não tem correspondência direta nas opções listadas.
  • © corresponde a y = -2x + 1.
  • (D) corresponde a y = x^2 - 1.
  • (E) corresponde a y = 2x - 1.

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