Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=1^infty (1-x)^n x^(n+1) 3^n(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (1-x)^n x^(n+1) 3^n(2n-1)!. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e como determinar para quais valores de x a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série sum an, se o limite L = limn to infty | an+1an | existe, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Vamos definir:
an = (1 - x)^n cdot x^(n + 1) 3^n(2n - 1)!
Agora, calculamos an+1:
an+1 = (1 - x)^n+1 cdot x^(n + 2) 3^n+1(2(n + 1) - 1)! = (1 - x)^n+1 cdot x^(n + 2) 3^n+1(2n + 1)!

Passo 4

Agora, vamos montar a razão | an+1an |:
| an+1an | = | (1 - x)^n+1 cdot x^(n + 2) 3^n+1(2n + 1)! cdot (2n - 1)!(1 - x)^n cdot x^(n + 1) 3^n |
Simplificando:

Passo 5

Simplificando mais:
Observando o expoente de = |1 - x| cdot x^(n + 2) 3^n+1 - (n + 1) 3^n cdot 1(2n)(2n + 1) :
x
Então,
(n + 2) 3^n+1 - (n + 1) 3^n = 3^n [3(n + 2) - (n + 1)] = 3^n (3n + 6 - n - 1) = 3^n (2n + 5)

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty |1 - x| cdot x^3^n(2n + 5) cdot 1(2n)(2n + 1)
Note que 3^n cresce muito rapidamente, então a expressão x^3^n(2n + 5) vai depender fortemente do valor de |x|:
  • Se |x| < 1, x^3^n(2n + 5) tende a 0.
  • Se |x| > 1, x^3^n(2n + 5) tende a infinito.
  • Se |x| = 1, x^3^n(2n + 5) = 1.
Considerando multiplicado por |1 - x| e dividido por (2n)(2n + 1), vemos que:
  • Para |x| < 1, L = 0 < 1, então converge.
  • Para |x| > 1, L tende a infinito, então diverge.
  • Para |x| = 1, precisamos analisar separadamente.

Passo 7

Vamos considerar |x| = 1:
x = 1 ou x = -1
Para x = 1:
an = (1 - 1)^n cdot 1^(n + 1) 3^n(2n - 1)! = 0 para todo n >= 1
A série é zero, então converge.
Para x = -1:
an = (1 - (-1))^n cdot (-1)^(n + 1) 3^n(2n - 1)! = 2^n cdot (-1)^(n + 1) 3^n(2n - 1)!
Aqui, o termo $ (-1)^{(n + 1) 3^{n}} $ oscila, mas o fator (-1)^(n + 1) 3^n cresce exponencialmente enquanto o denominador cresce mais rapidamente por ser fatorial. Então, a série também converge.

Resposta

O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é R = 1 .

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