Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e como determinar para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , se o limite existe, então:
Aqui, o termo $ (-1)^{(n + 1) 3^{n}} $ oscila, mas o fator (-1)^(n + 1) 3^n cresce exponencialmente enquanto o denominador cresce mais rapidamente por ser fatorial. Então, a série também converge.
Resposta
O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é R = 1 .