Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (3 - x)^n-1raizn
Isso está ligado ao estudo de séries de potências e à análise de onde essa série “funciona” ou converge. Para resolver, vamos usar um teste de convergência que nos ajuda a descobrir esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a série. Observe que:
(3 - x)^n-1raizn = 1raizn cdot (3 - x)^n-1
Podemos reescrever isso como:
sumn=1^infty (3 - x)^n-1raizn = sumn=1^infty 1raizn cdot (3 - x)^n-1
Agora, para facilitar, vamos considerar a série começando do $ n = 0 $. Isso não muda a convergência, mas simplifica os cálculos:
n = 0

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.
O Teste da Razão diz que:
x
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, $ a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \cdot (3 - x)^{n} $. Então:
limn to infty | an+1an | = L
Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
L < 1

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|3 - x| < 1
Isso nos dá uma desigualdade para encontrar os valores de $ x $ que fazem a série convergir:
x
Vamos resolver essa desigualdade:
Primeiro, subtraia 3 de todos os lados:
-1 < 3 - x < 1
-1 - 3 < -x < 1 - 3
Agora, multiplique todos os lados por -1 e lembre-se de inverter as desigualdades:
-4 < -x < -2
Ou seja:
4 > x > 2
Então, o raio de convergência é $ R = 1 $, porque a série converge quando $ |3 - x| < 1 $.

Passo 5

Agora, precisamos verificar a convergência nos extremos do intervalo $ x = 2 $ e $ x = 4 $, para determinar o intervalo de convergência.
  1. Para $ x = 2 $:
x = 2
Essa é a série p com $ p = \frac{1}{2} $, que é uma série divergente, pois $ p \leq 1 $.
  1. Para $ x = 4 $:
x = 4
Essa é a série alternada com termos que diminuem monotonamente para zero. Segundo o Teste da Série Alternada, ela converge.

Resposta

O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ 2 < x \leq 4 $.

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