Associe corretamente as funções apresentadas na coluna da esquerda à sua respectiva série de Maclaurin na coluna da direita. Após realizar as associações, marque a alternativa que corresponde ao que se pede.
  1. f(x)=e^{x}
    a) x-x^{3} / 3!+x^{5} / 5!-x^{7} / 7!+\ldots
    II. g(x)=\operatorname{sen}(x)
    b) 1+x / 1!+x^{2} / 2!+x^{3} / 3!+\ldots
    III. h(x)=\cos (x)
    c) 1-x^{2} / 2!+x^{4} / 4!-x^{6} / 6!+\ldots
    a) I-a;II-b;III-c.
    b) I-a;II-c;III-b.
    c) I-c;II-a;III-b.
    d) I-b;II-a;III-c.
    e) I-b;II-c;III-a.

Passo 1

O enunciado pede que eu associe cada função da coluna esquerda com a sua série de Maclaurin correspondente na coluna direita e, depois, marque a alternativa correta. As informações dadas são:
  • I. f(x)=e^{x}
  • II. g(x)=\operatorname{sen}(x)
  • III. h(x)=\cos(x)
E as séries apresentadas são:
  • a) x - x^{3}/3! + x^{5}/5! - x^{7}/7! + \ldots
  • b) 1 + x/1! + x^{2}/2! + x^{3}/3! + \ldots
  • c) 1 - x^{2}/2! + x^{4}/4! - x^{6}/6! + \ldots
O que se pede: identificar qual letra (a, b ou c) corresponde a cada função (I, II, III) e então escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Primeiro, lembro a definição que uso para construir séries em torno de 0 (séries de Maclaurin). Para uma função f suficientemente diferenciável em 0, a série de Maclaurin é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Aqui f^{(n)}(0) significa a n-ésima derivada de f avaliada em x=0, e n! é o fatorial de n. Essa fórmula diz: cada coeficiente da série é dado pela derivada correspondente em zero dividida por n!. Vou aplicar essa receita para cada função e comparar com as opções.

Passo 3

Função f(x)=e^{x}.
  • Derivadas: f^{(n)}(x)=e^{x} para todo n, logo f^{(n)}(0)=e^{0}=1 para todo n.
  • Substituindo na fórmula,
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots.
Comparando com as opções, essa série é exatamente a opção b.

Passo 4

Função g(x)=\sin(x).
  • Derivadas e valores em 0:
    • g(x)=\sin x g(0)=0.
    • g'(x)=\cos x g'(0)=1.
    • g''(x)=-\sin x g''(0)=0.
    • g^{(3)}(x)=-\cos x g^{(3)}(0)=-1.
    • As derivadas repetem esse ciclo 0,1,0,-1,\dots.
  • Pela fórmula de Maclaurin, apenas potências ímpares aparecem (pois as derivadas pares em 0 são zero) e os sinais alternam:
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots.
Comparando, essa série é exatamente a opção a.

Passo 5

Função h(x)=\cos(x).
  • Derivadas e valores em 0:
    • h(0)=\cos 0=1.
    • h'(0)=-\sin 0=0.
    • h''(0)=-\cos 0=-1.
    • h^{(3)}(0)=\sin 0=0.
    • O padrão é 1,0,-1,0,1,\dots.
  • Pela fórmula, apenas potências pares aparecem, com sinais alternados:
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots.
Isso corresponde exatamente à opção c.

Passo 6

Resumindo as correspondências encontradas:
  • f(x)=e^{x} corresponde à opção b.
  • g(x)=\sin x corresponde à opção a.
  • h(x)=\cos x corresponde à opção c.
Portanto a associação é \text{I-}b,\\ \text{II-}a,\\ \text{III-}c, que é a alternativa d. Você mandou bem ao chegar até aqui — essas três séries são clássicas e valem decorar para a prova!

Resposta

d) I-b;II-a;III-c.

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