Associe corretamente as funções apresentadas na coluna da esquerda à sua respectiva série de Maclaurin na coluna da direita. Após realizar as associações, marque a alternativa que corresponde ao que se pede.
-
a)
II.
b)
III.
c)
a) I-a;II-b;III-c.
b) I-a;II-c;III-b.
c) I-c;II-a;III-b.
d) I-b;II-a;III-c.
e) I-b;II-c;III-a.
a)
II.
b)
III.
c)
a) I-a;II-b;III-c.
b) I-a;II-c;III-b.
c) I-c;II-a;III-b.
d) I-b;II-a;III-c.
e) I-b;II-c;III-a.
Passo 1
O enunciado pede que eu associe cada função da coluna esquerda com a sua série de Maclaurin correspondente na coluna direita e, depois, marque a alternativa correta. As informações dadas são:
- I.
- II.
- III.
E as séries apresentadas são:
- a)
- b)
- c)
O que se pede: identificar qual letra (a, b ou c) corresponde a cada função (I, II, III) e então escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Primeiro, lembro a definição que uso para construir séries em torno de
(séries de Maclaurin). Para uma função
suficientemente diferenciável em
, a série de Maclaurin é
Aqui
significa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
. Essa fórmula diz: cada coeficiente da série é dado pela derivada correspondente em zero dividida por
. Vou aplicar essa receita para cada função e comparar com as opções.
Passo 3
Função
.
- Derivadas:
para todo , logo para todo . - Substituindo na fórmula,
Comparando com as opções, essa série é exatamente a opção
.
Passo 4
Função
.
- Derivadas e valores em
: -
dá . -
dá . -
dá . -
dá . - As derivadas repetem esse ciclo
.
-
- Pela fórmula de Maclaurin, apenas potências ímpares aparecem (pois as derivadas pares em
são zero) e os sinais alternam:
Comparando, essa série é exatamente a opção
.
Passo 5
Função
.
- Derivadas e valores em
: -
. -
. -
. -
. - O padrão é
.
-
- Pela fórmula, apenas potências pares aparecem, com sinais alternados:
Isso corresponde exatamente à opção
.
Passo 6
Resumindo as correspondências encontradas:
-
corresponde à opção . -
corresponde à opção . -
corresponde à opção .
Portanto a associação é
, que é a alternativa
. Você mandou bem ao chegar até aqui — essas três séries são clássicas e valem decorar para a prova!
Resposta
d) I-b;II-a;III-c.