A respeito da sequência \left(a_{n}\right), cujo termo geral é dado por a_{n}=\left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n}, pode-se AFIRMAR que:
(Obs: Considere { }^{e} como sendo de Euler, e \approx 2,718281 \ldots )
a) é divergente.
b) converge para 1 .
c) converge para e^{3}.
d) converge para e^{2}.
e) converge para e.

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é a_{n}=\left(\dfrac{n+3}{n+1}\right)^{n} e pergunta qual das alternativas é verdadeira:
a) é divergente.
b) converge para 1.
c) converge para e^{3}.
d) converge para e^{2}.
e) converge para e.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita do termo: a_{n}=\left(\dfrac{n+3}{n+1}\right)^{n}.
  • Valor aproximado de e (constante de Euler), se necessário: e\approx2,718281\ldots.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão algébrica do termo para enxergar um padrão conhecido. Reescrevo a fração:
\frac{n+3}{n+1}=\frac{(n+1)+2}{n+1}=1+\frac{2}{n+1}.
Logo
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^{n}.

Passo 3

Faço uma substituição útil para comparar com limites padrão. Seja m=n+1. Quando n\to\infty também m\to\infty. Em termos de m:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{m}\right)^{m-1}.
Posso separar esse expoente:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{m}\right)^{m}\cdot\left(1+\frac{2}{m}\right)^{-1}.

Passo 4

Vou estudar os dois fatores separadamente. Primeiro o fator principal \left(1+\dfrac{2}{m}\right)^{m}. Existe um limite clássico (e fundamental) que diz:
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}=e^{x},
para qualquer número real x. Aqui x=2, então se esse limite valer teremos e^{2}.
Explicação didática curta do porquê desse limite (para você poder reproduzir na prova): considere a função f(t)=\ln(1+t). Para t\to0 vale
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1,
que pode ser mostrado usando a regra de L’Hospital ou pela expansão em série de Taylor \ln(1+t)=t+o(t). Agora faça a troca t=\dfrac{x}{m} (então t\to0 quando m\to\infty). Temos
\ln\!\left(1+\frac{x}{m}\right)^{m}=m\ln\!\left(1+\frac{x}{m}\right)=\frac{\ln(1+t)}{t}\,x,
com t=\dfrac{x}{m}. No limite, \dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1, logo o logaritmo do limite tende a x. Portanto o próprio limite é e^{x}.

Passo 5

Aplicando o resultado com x=2:
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{2}{m}\right)^{m}=e^{2}.

Passo 6

Agora olho o segundo fator da decomposição:
\left(1+\frac{2}{m}\right)^{-1}.
Quando m\to\infty temos \dfrac{2}{m}\to0, então
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{2}{m}\right)^{-1}=1^{-1}=1.

Passo 7

Multiplicando os limites (produto de limites quando ambos existem e são finitos), obtenho o limite da sequência:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{2}{m}\right)^{m}\cdot\left(1+\frac{2}{m}\right)^{-1}=e^{2}\cdot 1=e^{2}.
Portanto a sequência converge e o limite é e^{2}. Isso descarta as outras alternativas (não é divergente nem tende a 1, e ou e^{3}).

Resposta

d) converge para e^{2}

Exercícios relacionados