A respeito da sequência
, cujo termo geral é dado por
, pode-se AFIRMAR que:
(Obs: Considere
como sendo de Euler,
)
a) é divergente.
b) converge para 1 .
c) converge para
.
d) converge para
.
e) converge para
.
(Obs: Considere
a) é divergente.
b) converge para 1 .
c) converge para
d) converge para
e) converge para
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
e pergunta qual das alternativas é verdadeira:
a) é divergente.
b) converge para .
c) converge para .
d) converge para .
e) converge para .
a) é divergente.
b) converge para
c) converge para
d) converge para
e) converge para
Informações relevantes fornecidas:
- A definição explícita do termo:
. - Valor aproximado de
(constante de Euler), se necessário: .
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão algébrica do termo para enxergar um padrão conhecido. Reescrevo a fração:
Logo
Passo 3
Faço uma substituição útil para comparar com limites padrão. Seja
. Quando
também
. Em termos de
:
Posso separar esse expoente:
Passo 4
Vou estudar os dois fatores separadamente. Primeiro o fator principal
. Existe um limite clássico (e fundamental) que diz:
para qualquer número real
. Aqui
, então se esse limite valer teremos
.
Explicação didática curta do porquê desse limite (para você poder reproduzir na prova): considere a função
. Para
vale
que pode ser mostrado usando a regra de L’Hospital ou pela expansão em série de Taylor
. Agora faça a troca
(então
quando
). Temos
com
. No limite,
, logo o logaritmo do limite tende a
. Portanto o próprio limite é
.
Passo 5
Aplicando o resultado com
:
Passo 6
Agora olho o segundo fator da decomposição:
Quando
temos
, então
Passo 7
Multiplicando os limites (produto de limites quando ambos existem e são finitos), obtenho o limite da sequência:
Portanto a sequência converge e o limite é
. Isso descarta as outras alternativas (não é divergente nem tende a
,
ou
).
Resposta
d) converge para