Associe Verdadeiro (V) ou Falso (F) a cada sentença a seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) .
Passo 1
O enunciado pede para verificar, para cada afirmação do tipo “aequiv bbmod m” ou “anotequiv bbmod m”, se ela é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o de congruências módulo m, em que usamos:
aequiv bbmod m
se, e somente se,
mmid (a - b)
Passo 2
Definimos formalmente: para inteiros a,b e inteiro positivo m,
aequiv bbmod mLong<=ftrightarrow mmid(a-b)
Passo 3
Aplicando a definição às letras a), b) e c):
a) 221equiv 0bmod 17 pois 221-0=221=17cdot13, logo 17mid221. Rightarrow Verdadeiro.
b) 5equiv 5bmod 21 pois 5-5=0 e todo inteiro divide 0. Rightarrow Verdadeiro.
c) 5+7+8=20, e 20equiv 7bmod 13 pois 20-7=13=13cdot1. Rightarrow Verdadeiro.
Passo 4
Analisando d):
d) -5equiv 2bmod 3? Calculamos -5-2=-7, e 3 não divide -7. Logo a congruência é falsa. Rightarrow Falso.
Passo 5
Analisando e) e f):
e) “57notequiv 23bmod 13”: temos 57-23=34, e 13 não divide 34? Na verdade 13cdot2=26neq34, então não são congruentes, assim a negação é verdadeira. Rightarrow Verdadeiro.
f) “23notequiv 55bmod 33”: 23-55=-32, e 33 não divide -32. Logo a afirmação de não congruência é verdadeira. Rightarrow Verdadeiro.
Passo 6
Analisando g):
“xequiv3bmod5” significa x=5k+3 para algum kinZ. Substituindo k=-2,-1,0,1,2,dots obtemos dots,-7,-2,3,8,13,dots. Portanto a lista dada está correta. Rightarrow Verdadeiro.
Passo 7
Analisando h):
Como 5equiv -1bmod6 e -1equiv -7bmod6, pela transitividade das congruências temos
5equiv -7bmod6
Isso é consistente (ambos equivalem a 5 quando reduzidos módulo 6). Rightarrow Verdadeiro.