Associe Verdadeiro (V) ou Falso (F) a cada sentença a seguir:
a) 221 equiv 0(bmod 17)
b) 5 equiv 5(bmod 21)
c) 5+7+8 equiv 7(bmod 13)
d) -5 equiv 2(bmod 3)
e) 57 not equiv 23(bmod 13)
f) 23 not equiv 55(bmod 33)
g) x equiv 3 bmod 5) Rightarrow x inldots,-7,-2,3,8,13, ldots
h) c5 equiv-1(bmod 6) -1 equiv-7(bmod 6) Longrightarrow 5 equiv-7(bmod 6).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, para cada afirmação do tipo “ aequiv bbmod m” ou “ anotequiv bbmod m”, se ela é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o de congruências módulo m, em que usamos:
aequiv bbmod m
se, e somente se,
mmid (a - b)

Passo 2

Definimos formalmente: para inteiros a,b e inteiro positivo m,
aequiv bbmod mLong<=ftrightarrow mmid(a-b)

Passo 3

Aplicando a definição às letras a), b) e c):
  • a) 221equiv 0bmod 17 pois 221-0=221=17cdot13, logo 17mid221. Rightarrow Verdadeiro.
  • b) 5equiv 5bmod 21 pois 5-5=0 e todo inteiro divide 0. Rightarrow Verdadeiro.
  • c) 5+7+8=20, e 20equiv 7bmod 13 pois 20-7=13=13cdot1. Rightarrow Verdadeiro.

Passo 4

Analisando d):
  • d) -5equiv 2bmod 3? Calculamos -5-2=-7, e 3 não divide -7. Logo a congruência é falsa. Rightarrow Falso.

Passo 5

Analisando e) e f):
  • e) “ 57notequiv 23bmod 13”: temos 57-23=34, e 13 não divide 34? Na verdade 13cdot2=26neq34, então não são congruentes, assim a negação é verdadeira. Rightarrow Verdadeiro.
  • f) “ 23notequiv 55bmod 33”: 23-55=-32, e 33 não divide -32. Logo a afirmação de não congruência é verdadeira. Rightarrow Verdadeiro.

Passo 6

Analisando g):
xequiv3bmod5” significa x=5k+3 para algum kinZ. Substituindo k=-2,-1,0,1,2,dots obtemos dots,-7,-2,3,8,13,dots. Portanto a lista dada está correta. Rightarrow Verdadeiro.

Passo 7

Analisando h):
Como 5equiv -1bmod6 e -1equiv -7bmod6, pela transitividade das congruências temos
5equiv -7bmod6
Isso é consistente (ambos equivalem a 5 quando reduzidos módulo 6). Rightarrow Verdadeiro.

Resposta

a) V
b) V
c) V
d) F
e) V
f) V
g) V
h) V

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